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Bonjour,
Dans la question soit $\psi \in \mathcal{D}(\R)$ prouver qu'il existe $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$ solution de $\varphi'+\varphi=\psi$ je pense qu'on s'est trompé dans les conditions pour que $\varphi$ soit à support compact.
On a trouver que la solution générale de l'équation est
$$
\varphi(x)= C e^{-x}+ e^{-x} \displaystyle\int_{x_0}^x e^s \psi(s) ds
$$
et puisque $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$ alors on peut écrire
$$
\varphi(x)= C e^{-x}+ e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
où $C$ est une constante quelconque.
Ma question est: s'il vous plaît, qu'est ce qu'il faut écrire exactement pour voir quand $\varphi$ est à support compact?

Bonjour,
on considère la fonction $f(x)= \chi_{]0,1]}+ (2-x) \chi_{[1,2]}$, et la question est de calculer $f'$ au sens des distributions.
donc cette fonction est
$$
f(x)
=
\begin{cases}
1, &x \in ]0,1]\\
2-x & x \in [1,2]
\end{cases}
$$
On remarque que $f$ est continue sur $\R$ (il n y a pas de sauts) et de plus $f \in L^1_{loc}(\R)$  car elle est $L^1(\R)$. Donc elle définit une distribution par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R): <f,\varphi>= \displaystyle\int_0^1 \varphi(x) dx + \displaystyle\int_1^2 (2-x) \varphi(x) dx.
$$
On a
$$
<f',\varphi>= -<f,\varphi'>= - \displaystyle\int_0^1 \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_1^2 (2-x) \varphi'(x) dx.
$$
D'un côté $\displaystyle\int_0^1 \varphi'(x) dx = \varphi(1) - \varphi(0)$, et d'un autre côté on a par ipp que $\displaystyle\int_1^2 (2-x) \varphi'(x) dx= \varphi(1)+ \displaystyle\int_1^2 \varphi(x) dx.$
Donc
$$
<f',\varphi>= \varphi(0)-2 \varphi(1)+ \displaystyle\int_1^2 \varphi(x) dx
$$
Comment exprimer le $f'$ final? S'il vous plaît.

Bonjour,
soit $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$. On a la définition suivante
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega): \langle \partial_i T,\varphi \rangle = - \langle T,\partial_i \varphi \rangle.
$$
Je cherche à montrer que $\partial_i T$ est continue.

Voici ce que j'ai fait: soit un compact $K$ et soit $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$. On a:
$$
|\langle \partial_i T,\varphi \rangle| = |\langle T,\partial_i \varphi\rangle| \leq C P_{K,m}(\partial_i \varphi)
$$
car $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$.
On a $$P_{K,m}(\partial_i \varphi)= \sup_{|\alpha|\leq m, x \in K} |D^{\alpha}(\partial_i \varphi)|$$
Après ça je ne sais pas comment l'écrire en fonction de $P_{K,\lambda}(\varphi)$ car la présence de $D^\alpha$ et $\partial_i$ me perturbe. Comment majorer $\sup_{|\alpha|\leq m, x\in K}|D^\alpha (\partial_i \varphi)|$ en fonction d'un $P_{K,\lambda}(\varphi)$?

Je lis qu'on a
$$
\sup_{|\alpha|\leq m} |D^\alpha \partial_i \varphi| \leq \sup_{|\alpha|\leq m+1} |D^\alpha \varphi
$$
Mais je ne comprend pas sur quelle base on majore $|\alpha|$ par $m$ ou $m+1$ ou $m+2$...ect

J'ai pensé à ceci:

Si $\alpha=(\alpha_1,..,\alpha_i,....,\alpha_k)$ on a:
$$
D^\alpha \varphi= \partial^{\alpha_1}_{x_1}  \partial^{\alpha_2}_{x_2}... \partial^{\alpha_i}_{x_i}... \partial^{\alpha_k}_{x_k}\varphi(x_1,...,x_k) ,
$$
et
$$
D^\beta \varphi= \partial^{\alpha_1}_{x_1}  \partial^{\alpha_2}_{x_2}... \partial^{\alpha_i}_{x_i} ... \partial^{\alpha_k}_{x_k} \partial_{x_i} \varphi(x_1,...,x_k)=\partial^{\alpha_1}_{x_1}  \partial^{\alpha_2}_{x_2}... \partial^{\alpha_i+1}_{x_i} ... \partial^{\alpha_k}_{x_k}(x_1,...,x_k) ,
$$où $\beta=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_i+1,...,\alpha_k)= (\alpha_1,...,\alpha_i,...,\alpha_k)+ (0,...,1,...,0)$ qui imlplique que $|\beta| \leq |\alpha|+1$ et par conséquent $|\beta| \leq m+1$.
Tout est ok?

Bonjour,
je souhaite m'assurer des inclusions suivantes:
1. si $\Omega$ est borné, alors on a: $L^1(\Omega) \subset L^1_{loc}(\Omega)$ et $\forall p \leq q: L^q(\Omega) \subset L^p(\Omega)$. C'est ok?
2. Si $\Omega$ n'est pas borné, est ce qu'on garde les deux inclusions précédentes?
Merci par avance pour votre aide.

Bonjour,
la question est de résoudre les problèmes de Cauchy
$$
\begin{cases}
y'+\sqrt{1+x^2} e^{-x} y=0\\
y(0)=0
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
y'+\sqrt{1+x^2} e^{-x} y=0\\
y(0)=1
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
y'+\sqrt{1+x^2} e^{-x} y=0\\
y(0)=\sqrt{5}
\end{cases}
$$

Le problème est que je n'arrive pas à calculer $-\displaystyle\int_{x_{0}}^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds$.
Alors ma question est
1. Comment voir qu'il est impossible de calculer la valeur exacte de $-\displaystyle\int_{x_{0}}^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds$?
2. C'est quoi le but de la question résoudre les trois problèmes de Cauchy or qu'on ne sait pas calculer l'intégrale?

Voici ce que j'ai essayé de faire. Pour trouver la solution générale de l'équation $y'+ \sqrt{1+x^2} e^{-x} y=0$, on remarque que $y=0$ est une solution de l'équation. On cherche maintenant les solution $y \neq 0$, alors il existe $x_0$ tel que $y(x_0) \neq 0$ et puisque $y$ est continue alors il existe $V \in \mathcal{V}(x_0)$ t.q $\forall x \in V: y(x) \neq 0$. On pose $y(x_0)=y_0 \neq 0$ et on a:
$$
\displaystyle\int_{x_0}^x \dfrac{y'(s)}{y(s)} ds = -\displaystyle\int_{x_0}^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds
$$
qui implique que la solution générale du problème est de la forme
$$
y(x)= y_0 \exp(-\displaystyle\int_{x_0}^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)
$$
où $y_0$ est une constante réelle quelconque.
Maintenant pour chaque problèmes de Cauchy, on a
$y(0)=0$ implique que $y_0  \exp(-\displaystyle\int_0^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)=0$ implique que $y_0=0$ donc $y=0$.
et
$y(0)=1$ implique que $y_0  \exp(-\displaystyle\int_0^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)=1$ implique que $y_0  = \exp(\displaystyle\int_0^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)$
et
$y(0)=\sqrt{5}$ implique que $y_0  \exp(-\displaystyle\int_0^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)=\sqrt{5}$ implique que  $y_0= \sqrt{5} \exp(\displaystyle\int_0^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)$
C'est une bonne solution?