Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#51 Re : Entraide (collège-lycée) » . » 22-05-2023 16:58:01
On t'aidera lorsque tu auras proposé tes pistes, mêmes infructueuses.
#52 Re : Entraide (collège-lycée) » . » 22-05-2023 16:52:44
Tu as le choix de réfléchir et faire l'exercice toi-même. Car si personne te répond c'est parce que les gens n'aiment pas faire tes devoirs à ta place. Essaie un truc et propose ce que tu as fait, même si c'est faux. Peut-être qu'après on viendra t'aider.
#53 Re : Entraide (collège-lycée) » . » 22-05-2023 16:28:31
C'est pas bien de demander partout ! https://les-mathematiques.net/vanilla/i … emiere-spe
#54 Re : Café mathématique » Des cours et exercices des vieux livres » 22-05-2023 16:27:09
Ah bah si, je viens de voir l'erreur ! Je me suis raté sur les médianes ! Je suis qu'un gros bêta ! >.<
#55 Re : Café mathématique » Des cours et exercices des vieux livres » 22-05-2023 16:24:41
Fiou ! J'ai mis du temps mais j'ai tout lu en essayant de comprendre du mieux possible (d'ailleurs tu me mâches bien le travail pour la compréhension, merci !) et même comme ça je sens que j'en suis encore loin. En effet, j'ai même réessayé tout à l'heure de le refaire moi-même et je n'y suis pas arrivé… je crois que j'ai beaucoup de travail devant moi ! ^^'
Je me demande comment vous deviez travailler ce genre de choses à l'époque. (Je me demande car de nos jours tout est tellement facile que je n'ai jamais réellement travaillé au collège ni au lycée…)
Pourquoi trouves-tu douteux le premier exercice de géométrie ? J'ai d'abord pensé avoir fait une erreur en recopiant l'énoncé mais non, ça a l'air de bien être ça
du coup je ne comprends pas trop ce que tu lui reproches.
Raaaah ! J'y étais presque pour la devinette ! J'étais tombé je ne sais comment sur 23 et 25 ans. J'ai dû faire une erreur quelque part. >_< mais encore une fois, c'est super bien expliqué ! J'espère qu'un jour j'y arriverais aussi bien que toi.
#56 Re : Café mathématique » Des cours et exercices des vieux livres » 20-05-2023 21:28:29
Je n'en attendais pas tant en une seule fois ! :D
Déjà un grand merci, car rien qu'avec l'exercice de Pierre, René et François tu viens de me faire réaliser pourquoi ce dernier se trouve dans le chapitre ligne droite, segment de droite et ça, ce n'est pas rien ! C'est même très éloquent et très simple finalement, je m'en voudrais presque de ne pas avoir compris avant comment faire.
Pour le père et son fils je pense que j'aurais réussi à le faire comme ceci oui, mais dans le livre il est abordé avant les équations (dans le même chapitre que l'exercice de Pierre, René et François justement) du coup je ne sais pas comment le faire sans introduire de variables et équations. Quoi que je me dis que c'est sûrement de la même manière aidé d'un schéma. Ce sera sans doute un bon teste d'essayer de le refaire de cette manière demain pour voir si j'ai bien compris (enfin, si c'est bien comme cela qu'il faut procéder :'D).
Par contre c'est une bonne piqure de rappel ! Car j'étais arrivé à un résultat différent à cause d'une petite erreur de calcul et je n'avais pas pensé à faire la vérification… si je l'avais fait comme tu le rappelles ici, je m'en serais rendu compte !
Le premier exo c'est un peu mon Némésis en algèbre… trop calculatoire, typiquement le genre d'exo pour lequel je laisserais faire l'ordi… mais à cette époque tu n'avais évidemment pas d'ordinateur. Je ne sais pas comment j'aurais vécu ce type d'exos. Néanmoins merci encore une fois car j'ai, je crois, compris comment le résoudre !
En Term Math Elem on avait la collection Lespinard & Pernet (j'ignore si c'était un trait d'humour de l'Imprimeur, mais leur couverture était... verte)
J'ai voulu vérifier et c'est vrai ! Incroyable. Je me demande comment l'auteur l'a pris. :D
Quant à tes deux petites devinettes, elles me donnent du fil à retordre ! J'espère que j'arriverais à les résoudre d'ici demain !
Merci à nouveau pour le temps que tu as pris à me répondre pour ces premiers exercices ! Je t'avoue qu'avec de tels réponses de ta part, j'attends avec impatience la suite pour la géométrie. :)
#57 Café mathématique » Des cours et exercices des vieux livres » 20-05-2023 17:10:17
- Blubber
- Réponses : 68
Bonjour, en lisant un peu quelques forums sur le net, suis tombé sur des conversations parlant des vieux livres dans lesquels se trouvait de la vraie géométrie. J'ai donc fait le tour et j'ai trouvé assez facilement deux séries de livres : les Lebossé-Hémery et les Monge-Guinchan.
Seulement voilà, n'ayant jamais réellement eu à faire à ces problèmes ni à cette géométrie je me retrouve devant deux problèmes :
I — Le cours n'est pas forcément compliqué mais de ce que j'ai pu voir, dans les lebossé-hémery par exemple, chaque chapitre est repris d'année en année avec à chaque fois quelques approfondissements en plus : j'ai l'impression que si je pars de la sixième je perds mon temps, mais j'ai l'impression de ne pas avoir les prérequis pour partir de la quatrième par exemple. C'est d'autant plus flagrant en géométrie où j'ai l'impression de ne rien comprendre en partant depuis la quatrième.
II — Comment faire les exercices ? Les premiers concernent des problèmes élémentaires dont j'ai totalement oublié comment les résoudre… ainsi je suis pas mal perdu dès les premiers exercices que, je pense, j'arriverais à peu près à résoudre avec les outils du lycée mais pas sans :
On vient d'écrire les 384 premiers nombres entiers. Combien de fois a-t-on écrit chacun des chiffres 0, 1, 2, …, 9 ?
Un père à 46 ans, et son fils 10 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le quadruple, le triple ou le double de celui de son fils ?
Pierre, René et François ont à eux trois 40 ans. René à 3 ans de moins que Pierre et 2 ans de plus que François. Trouver l'âge de chacun des enfants.
Partager 120 billes entre trois garçons de façon que le premier ait 7 billes de plus que le premier et 4 billes de moins que le troisième.
Les seconds concernent les problèmes de cette géométrie que je n'ai jamais rencontrée :
Deux triangles ABC et A'B'C' ont un côté égal BC=B'C' ainsi que les hauteurs AH et A'H' et les médianes AMH et A'M'H'.
1) Comparer les triangles AMH et A'M'H'.
2) On superpose ces deux triangles. En déduire l'égalité des triangles ABC et A'B'C' et énoncer le cas d'égalité correspondant.
On considère un triangle ABC et la bissectrice extérieur de l'angle A.
1) Montrer que le symétrique C' de C par rapport à cette bissectrice se trouve sur BA et que AC' = AC.
2) Démontrer que pour tout point M de la bissectrice on a MB+MC>AB+AC.
Et il y en a bien d'autres encore.
Mes questions sont donc:
Comment lire la partie cours de ces livres ?
Comment travailler cette géométrie ?
Existe-t-il une ressource qui compilerait un peu toutes les méthodes de résolution de ce genre d'exercices ?
#58 Re : Programmation » Projeter une figure 3D sur un écran 2D » 19-05-2023 15:49:17
Bonjour Bernard-maths.
Ces dernières semaines j'ai surtout bossé les exams (auxquels je n'accepterai pas moins de 19/20 x')) mais tout en continuant d'avancer sur le présent sujet.
Je suis en train d'essayer de mettre en forme tout ceci afin d'avoir une sorte le library simple et facilement utilisable ; bien que très limitée. En effet, je ne cherche pas à faire un monstre adapté à toutes les situations mais bien un petit helper répondant juste à mon use-case. Sache que tes programmes GeoGebra m'ont été d'un grand secours aussi bien pour visualiser correctement la chose que pour voir comment appliquer les formules.
Enfin, lorsque j'aurais réussi à rendre le tout suffisamment bien à mon gout, je mettrai tout ceci en accès libre des fois que cela en intéresse certains.
#59 Re : Programmation » Projeter une figure 3D sur un écran 2D » 22-04-2023 13:07:02
Ne te presse pas Bernard-maths, car moi je ne suis pas pressé ! :)
Pour tout te dire, à vouloir y aller directement avec trois axes je me suis perdu en chemin. Ainsi je pense qu'y aller incrémentalement et commencer par deux axes afin de déjà réaliser cette projection sur ceux-ci serait un grand bon en avant : d'une part j'arriverais à mettre ceci en place mais en plus j'aurais de quoi réaliser la quasi-totalité des figures que je pourrais espérer.
Il manquerait tout de même la possibilité de réaliser des figures en, notamment, sciences de l'ingé ; néanmoins je crois que ceci ne se fera qu'une fois que je serai arrivé à tout faire sur deux axes. Je m'attaquerais alors surement à une généralisation sur trois axes mais clairement, c'est plus compliqué que prévu à mettre correctement en place sans se perdre dans des calculs et des fonctions alambiquées.
En tout cas je te remercie (d'autant plus si tu veux bien m'expliquer un peu le côté programmation un peu plus tard. À nouveau, ne te presse pas tu peux l'expliquer d'ici quelques jours sans soucis :)) car je sens qu'avec ces deux fichiers je vais m'amuser comme un petit fou durant tout le weekend ! ^^
#60 Re : Programmation » Projeter une figure 3D sur un écran 2D » 22-04-2023 12:39:49
Je crois que je commence à comprendre comment cela fonctionne.
La projection de chaque point est déterminée par ses coordonnées listées dans la barre à gauche (par exemple $B$ est déterminé par $(x_B, y_B)$ et chacune de ces coordonnées est explicitement définie (par exemple $y_B=z_{B} c_{\beta}-(x_{B} c_{\alpha}-y_{B} s_{\alpha}) s_{\beta}$) avec le cosinus ($c$) et le sinus ($s$) de $\alpha$ et $\beta$.
#61 Re : Programmation » Projeter une figure 3D sur un écran 2D » 22-04-2023 12:00:29
Bonjour Bernard-maths.
J'ai pu télécharger le fichier GeoGebra et le lancer sans soucis.
J'essaierai donc à présent de comprendre ce qu'il s'y passe bien qu'un peu de contexte ne serait pas de refus. x')
#62 Re : Programmation » Projeter une figure 3D sur un écran 2D » 20-04-2023 22:46:45
Bonsoir Bernard-maths.
Je suis en effet intéressé par ce programme GeoGebra ! :)
Je pense que je serais à même de me débrouiller avec afin d'essayer d'en tirer le plus de choses possibles.
Merci d'avance. :)
#63 Re : Entraide (collège-lycée) » Thales et projections » 20-04-2023 12:55:36
Du coup personne n'a d'idée ? :(
Pour la question b j'ai compris que j'étais un peut idiot… bien que je ne sache toujours pas le démontrer proprement : $(CG)$ étant parallèle à $(AB)$ et passant par $C$, on a forcément $BC=EG$.
#64 Entraide (collège-lycée) » Thales et projections » 19-04-2023 18:47:56
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Bonjour
J'essaie de travailler l'exercice suivant
Soit un triangle $ABC$. Une droite $\mathcal{D}$ parallèle à $(BC)$ coupe $(AB)$ en $E$, $(AC)$ en $F$, et la parallèle à $(AB)$ passant par $C$ en $G$.
Montrer que $$\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AC}}\quad\text{et}\quad\frac{\overline{AF}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{EF}}{\overline{EG}}$$
Démontrer que $EG=BC$
Déduire de a et b que: $$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}$$
J'ai commencé par faire la figure et si je l'ai réussi ça devrait donner quelque chose comme ceci
Ensuite c'est là où je galère à justifier. Si je comprends bien il faudrait que j'utilise les projections mais je ne vois pas ce que je dois projeter ni où… peut-être bien $(AC)$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$ ? Auquel cas on a $p(A)=A$, $p(F)=E$ et $p(C)=B$ donc d'après le théorème de Thales on trouve bien
$$\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AC}}$$
En revanche je ne sais pas comment obtenir la deuxième égalité ni même que $EG=BC$.
Pour c, en utilisant les deux premières égalités de a on a
$$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{EG}$$
soit, comme $EG=BC$ d'après b
$$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}$$
#65 Re : Entraide (supérieur) » Unicité de l'élément neutre dans un groupe » 15-04-2023 14:34:22
Supposons que tu as deux éléments neutres $e$ et $e'$ alors pour tout $x\in G$ tu as
$$e'\oplus x=x=x\oplus e'$$
Maintenant si tu substitues $e$ à $x$ tu as
$$e'\oplus e=e=e\oplus e'$$
Les éléments d'un groupe étant symétrisables, tu as aussi
$$e\oplus e'=e'=e'\oplus e$$
L'élément neutre est donc unique.
#66 Re : Entraide (supérieur) » Classes d'équivalences d'une relation » 13-04-2023 14:13:26
Merci eoghan pour cette explication complète ! Elle répond totalement à ma question et même plus, car grâce à celle-ci je pense enfin avoir totalement compris le concept, ou du moins comment l'utiliser !
Merci aussi à bridgslam qui ouvre certaines portes. J'ai cru voir (ou alors je deviens fou?) en feuilletant rapidement quelques livres qu'il était possible de définir les entiers relatifs ou les rationnels de cette façon. Bien que je sois encore loin de réellement comprendre comment cela pourrait se faire.
#67 Re : Entraide (supérieur) » Classes d'équivalences d'une relation » 12-04-2023 19:28:03
Hmmm… Je suis confus du coup. x)
Je vois, dans ce cas j'essaierai de bricoler un peu plus à chaque fois pour essayer de dégager quelques formes que je connais !
#68 Re : Entraide (supérieur) » Classes d'équivalences d'une relation » 12-04-2023 19:00:08
Je crois que je commence à comprendre ! C'est tout bête en fait. Merci !
Aussi c'est pas plutôt $ax+by+c=0$ l'équation d'une droite ? Je ne suis pas sûr de comment tu passes de cette équation à ta classe d'équivalence du coup.
#69 Entraide (supérieur) » Classes d'équivalences d'une relation » 12-04-2023 18:37:59
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Bonjour,
Je coince sur un petit exercice pourtant pas bien dingue :
On considère la relation $\mathcal{R}$ de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ définie par $(x,x')\mathcal{R}(y,y')\iff x+x'=y+y'$.
Démontrer que c'est une relation d'équivalence. Quelles sont les classes d'équivalences ?
Si je ne me trompe pas $\mathcal{R}$ est
réflexive: pour tout $(x,x')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ on a $x+x'=x+x'$
symétrique: pour tous $(x,x')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ et $(y,y')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ on a $x+x'=y+y' \implies y+y'=x+x'$
transitive: pour tous $(x,x')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$, $(y,y')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ et $(z,z')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ on a $(x+x'=y+y' \text{ et } y+y'=z+z')\implies (x+x'=y+y'=z+z')$ soit $x+x'=z+z'$
c'est donc bien une relation d'équivalence.
En revanche je n'arrive pas à visualiser ce que sont ses classes d'équivalences… à vrai dire j'ai du mal à visualiser ce que peuvent-êtres les classes d'équivalences de la plupart des relations que j'ai dû étudier jusque-là. Bref, du coup si quelqu'un peut m'aiguiller je lui en serai reconnaissant !
#70 Re : Programmation » Projeter une figure 3D sur un écran 2D » 09-03-2023 17:21:37
Petite modification, je suis passé sur les angles d'euler qui me sont un peu plus naturel.
Deuxième partie donc, on se doit de projeter correctement nos coordonnées pour cela, rien de plus simple, il nous faut juste une fonction projection telle que celle-ci
vardef pr(expr x, y, z) =
x*e[0] + y*e[1] + z*e[2]
enddef ;
J'obtiens donc pour $\psi=0, \theta=280, \phi=225$ ceci
Il me reste tout de même (pour l'instant) deux questionnements :
Quelles sont les valeurs d'angles utilisées pour obtenir la disposition en noir sur cette image ?
Je me casse la tête à écrire une base puis à réaliser une projection dans cette base… peut-être y a-t-il moyen de faire ça plus directement ? (de loin j'imagine que ça utiliserait les produits scalaires et vectoriels ? Mais je ne vois pas trop comment)
#71 Programmation » Projeter une figure 3D sur un écran 2D » 09-03-2023 15:03:40
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Bonjour,
Je suis actuellement entrain d'essayer de projeter une figure 3D (quelconque) sur un plan en 2D avec MetaPost pour mes cours (et aussi pour le défi, j'avoue). Simplement, MetaPost n'ayant de support intégré pour les matrices ni même pour la 3D j'aimerais essayer de m'en passer (histoire de ne pas avoir à m'en soucier et me tuer à la tache pour tricher avec MetaPost).
Pour ce faire, la priorité est (selon moi) de pouvoir réaliser des rotations sur les trois axes $x$, $y$ et $z$ puis d'enfin réaliser les projections.
Commençons donc par nous chauffer avec des rotations 2D à l'aide de la matrice $$\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}$$ Deux choix s'offrent à nous:
Créer une base $(e_0,e_1)$ de telle sorte que nos coordonnées sont obtenues à partir de cette base; auquel cas
$$\left\{\begin{array}{lll}e_0 & = & (\cos(\theta),\sin(\theta)) \\e_1 & = & (-\sin(\theta), \cos(\theta))\end{array}\right.$$Créer une fonction rotation, pour cela, on "transforme" notre matrice de sorte à obtenir un vecteur avec les coordonnées suivantes:
$$\left\{\begin{array}{lll}x' & = & x\cos(\theta)-y\sin(\theta) \\y' & = & x\sin(\theta)+y\cos(\theta)\end{array}\right.$$
ainsi, notre fonction devrait ressembler à ceci :
def rotation(expr a, theta) =
((xpart a)*cosd(theta) - (ypart a)*sind(theta),
(xpart a)*sind(theta) + (ypart a)*cosd(theta))
enddef ;
Bref, ceci est simple et fonctionne très bien.
Maintenant là où je commence à coincer c'est que j'aimerais pouvoir créer aussi bien une base que la fonction rotation en 3D pour les trois axes. Wikipedia nous dit qu'il nous faut multiplier les trois matrices suivantes :
$$R_x=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)\\0&\sin(\alpha)&\cos(\alpha)\end{pmatrix} \qquad R_y=\begin{pmatrix}\cos(\beta)&0&\sin(\beta)\\0&1&0\\-\sin(\beta)&0&\cos(\beta)\end{pmatrix} \qquad R_z=\begin{pmatrix}\cos(\gamma)&-\sin(\gamma)&0\\\sin(\gamma)&\cos(\gamma)&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$
Soit, après calcul (merci wolframalpha)
sauf, qu'à nouveau, il n'est pas possible d'utiliser de la 3D out-of-the-box on se retrouve donc, enfin, à devoir utiliser la projection orthogonale en ne gardant pas les valeurs en $z$ (on retire donc la dernière ligne de notre matrice).
Ainsi, pour une rotation de $45\deg$ sur tous les angles ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) pour un repère orthonormé j'obtiens le résultat suivant :
Cela parait-il crédible ou bien me suis-je loupé ?
#72 Entraide (supérieur) » Fonction indicatrice et assertions » 15-02-2023 14:54:08
- Blubber
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Bonjour,
Je suis actuellement en train de retravailler mes td du premier semestre et je bloque sur un exercice
À toute assertion $p$ on associe un nombre que l'on écrit $\mathbb{1}_{p}$ qui est égal a $1$ si $p$ est vraie et à $0$ si $p$ est fausse, donc
$\mathbb{1}_{p}=1$ si $p$ est vraie
$\mathbb{1}_{p}=0$ si $p$ est fausse
Démontrer que les assertions $p$ et $q$ sont équivalentes si et seulement si $\mathbb{1}_{p} = \mathbb{1}_{q}$.
Démontrer que l'on a
$\mathbb{1}_{\bar{p}} = 1 - \mathbb{1}_{p}$
$\mathbb{1}_{p \text{ et } q} = \mathbb{1}_{p} \mathbb{1}_{q}$
$\mathbb{1}_{p \text{ ou } q} = \mathbb{1}_{p} + \mathbb{1}_{q} - \mathbb{1}_{p} \mathbb{1}_{q}$$
J'ai réussi à faire la première question mais je ne comprends pas comment attaquer la deuxième