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#51 Re : Entraide (supérieur) » Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité » 10-03-2016 13:59:30
C'est bien compris. L'astuce pour calculer la transformée de Fourier pour la norme euclidienne, c'est d'utiliser le rotationnel.
Pour le volume de la boule [tex]\mathbb{R}^{n-1}[/tex] de rayon [tex]\sqrt{1-x_n^2}[/tex], il est connue et on l'écrit directement ou bien on le calcule? Si oui, qu'est ce qu'on utilise pour le calculer? Parce que [tex]\alpha_{n-1}[/tex] m'intrigue. Pourquoi il ne reste pas [tex]\alpha_n[/tex]?
#52 Entraide (supérieur) » question 1 » 10-03-2016 13:48:30
- tintin
- Réponses : 12
Bonjour,
Soit [tex]T \in L^2(\mathbb{R}^n)[/tex] et soit la suite [tex](T_j)\subset S[/tex] telle que [tex]T_j \to T[/tex] dans [tex]L^2(\mathbb{R}^n[/tex]. La question est:
1. Montrer que
[tex]\forall \varphi \in S: ||\varphi||_{L^2}=(2 \pi)^{-n/2}||\widehat{\varphi}||_{L^2}[/tex]
Voici ce que je propose. On commence par écrire le produit scalaire de [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] de [tex]S[/tex]. On a:
[tex]<F(f),F(g)>= \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} F(f)(\xi) \overline{F(g)}(\xi) d\xi[/tex] (par définition du produit scalaire),
[tex]=\displaystyle\int_{\mathbb{R^n}} f(x) F(\overline{F(g)})(x) dx[/tex] (par la propriété [tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} F(f)(\xi) g(\xi) d\xi=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} f(x) F(g)(x) dx[/tex]),
Ma question est comment on continue à partir de là, et d'où sort le [tex](2 \pi)^{-n/2}[/tex] qu'il faut trouver? En plus je mélange entre x et \xi. J'ai lu des démonstrations et j'ai cherché, mais je n'arrive pas à trouver une bonne méthode propre pour faire cette démonstration. Si c'est possible de m'expliquer un peu. Merci beaucoup par avance.
#53 Re : Entraide (supérieur) » Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité » 10-03-2016 12:26:55
Non, il n' y a pas de question 1.
Je reprend étape par étape pour bien comprendre cette méthode, et merci beaucoup d'avance de m'aider.
1. Il faut calculer
[tex]
F(f)(x)=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} e^{-ix \cdot \xi} dx_1...dx_n
[/tex]
--Commentaire Fred : L'intégrale n'est pas sur [tex]\mathbb R^b[/tex], mais sur la boule unité [tex]B[/tex]
Pour ca, on utilise l'opérateur de rotation qui associe [tex]x=(x_1,...,x_n)[/tex] à [tex](0,0,...,0,\rho)[/tex], où [tex]\rho=||x||.[/tex]
on peut utiliser ça parce que la boule unité est invariante par la rotation, et la fonction ainsi que sa transformée de Fourier sont invariantes par la rotation.
Alors la transformée de f est donnée par
[tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} e^{-i x \cdot \xi} dx_1...dx_n[/tex]
mais comme on travail avec le rotationel, on ne prend pas [tex]\xi[/tex] mais le rotationnel de[tex] \xi[/tex], ce qui donne
[tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} e^{-i x . (0,...,0, \rho)} dx_1....dx_n[/tex]
Edit Fred : de même pour le domaine d'intégration.
qui est égale à
[tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\displaystyle\int_{-1}^1 e^{-i x_n\rho} dx_1....dx_n[/tex]
Edit Fred : Les bornes d'intégrales ne conviennent pas. On dit que
[tex]x_1^2+\dots+x_n^2\leq 1\iff x_1^2+\dots+x_{n-1}^2\leq 1-x_n^2[/tex] et [tex]x_n\in [-1,1] [/tex]
D'où on calcule l'intégrale [tex]\int_{x_n=-1}^{1}\int_{x_1^2+\dots+x_{n-1}^2\leq 1-x_n^2}\dots [/tex].
(je pense que vous avez fait une erreur de frappe, la deuxième intégrale est sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et pas sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex]
qui est égale à
[tex]
\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\int_{x_1^2+...+x_n^2 \leq 1-x_n^2} e^{-i x_n\rho} dx_1....dx_n
[/tex]
on note
[tex]\alpha_n= \displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n-1}} dx_1....dx_{n-1}[/tex] qui est le volume de la boule unité.
Ainsi, on a
[tex]
F(f)= \alpha_n \displaystyle\int_{-1}^2 e^{-ix_n \rho} dx_1
[/tex]
Je ne comprend pas comment vous obtenez
[tex]
\alpha_{n-1} \displaystyle\int_{-1}^1 (1-x_n^2)^{(n-1)/2} e^{-i x_n \rho} dx_n.
[/tex]