Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci c'est bien celle que j'avais. S'il vous plaît, comment prouver le lemme utilisé dans la preuve? Le lemme dit ceci: soit $u \in \mathcal{D}(I)$. Il existe $v \in \mathcal{D}(I)$ tel que $v'=u$ si et seulement si $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} u=0$. Dans ces cas, $v$ est unique.
Merci par avance pour votre aide.

Ah c'est réglé, j'ai trouvé l'erreur. Merci beaucoup.

S'il vous plaît, si on a $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^\star)$ pourquoi il est possible de le prolonger de manière unique en une fonction $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ en posant $\varphi(0)=0$? Comment expliquer l'existence et l'unicité de ce prolongement?

D'accord, c'est réglé pour ce point. Je cherche maintenant à calculer $\log|x|$ au sens des distributions. Puisque $\log |x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ alors elle définie une distribution sur $\mathbb{R}$ par:
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <\log|x|,\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\infty}^{\epsilon} \log(-x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log(x) \varphi(x) dx.
$$
et comme $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$ alors on écrit
$$
<\log|x|,\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+a} \log(x) \varphi(x) dx).
$$
Je veux appliquer le théorème des sauts mais je ne sais pas comment. Est-ce qu'on peut appeler le point $x=0$ un saut or que $\log|x|$ n'est même définie au point $x=0$? S'il vous plaît.

Oui, je sais la calculer. O a
$$
\displaystyle\int_0^1 \log(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^1 \log(x) dx = -1.
$$
Ma question est: comment on montre rigouteusement que $\log|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$? S'il vous plaît.

Comment on fait? Je sais calculer de la manière suivante:
1. Calcul de $(T_g)''$: Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. On a
$$
<(T_g)'',\varphi>=-<(T_g)',\varphi'>= 2\displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi'(x) dx - 2\displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi'(x) dx
$$
en utilisant l'ipp on obtient que
$$
<(T_g)'',\varphi>=-2(\displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi(x) dx).
$$
Donc
$$
(T_g)''= -2 (\chi_{]-\infty,0[}+\chi_{[0,+\infty[}).
$$

2. Calcul de $(T_g)'''$. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. On a
$$
<(T_g)''',\varphi>=-<(T_g)'',\varphi'>= 2(\displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi'(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi'(x) dx)=0
$$
donc
$$
(T_g)'''=0.
$$

S'il n y a pas d'erreur, j'ai une question. Le théorème des sauts donne la dérivée première. Est-ce qu'il y a une formule directe qu'on peut utiliser pour calculer les dérivées d'ordre $\alpha$ supérieure ou égale à 2? S'il vous plaît.

Bonjour,
pour la fonction $g(x)=x|x|$ définie sur $\mathbb{R}$ on remarque que $g$ est de classe $C^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$ et elle n'a pas de sauts. Donc on a $(T_g)'= T_{g'}$. Puisque
$$
g'(x)=
\begin{cases}
-2x &:x \in ]-\infty,0[\\
2x &x \in [0,+\infty[
\end{cases}
$$
on remarque que $g' \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ donc elle définie alors une distribtion par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <T_{g'},\varphi> = -2 \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx +2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
$$
et
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <(T_g)',\varphi>= <T_{g'},\varphi>
$$

Maintenant je cherche à calculer $(T_g)''$. On a la première méthode qui consiste à écrire $<(T_g)'',\varphi>= -<(T_g)',\varphi'>$ puis on fait l'intégration par parties.
Ma question est est-ce qu'on peut calculer $(T_g)''$ directement en utilisant le théorème des sauts?

Si on a par exemple la fonction $g(x)= x |x|$ sur $\mathbb{R}$, elle est $C^1$ parmorceaux.
D'abord, d'après la définition des sauts, le saut en 0 est la différence entre la limite de la fonction à droite de 0 et à gauche de 0. Mais là ça nous donne 0.  Donc il n y pas de saut en 0.
1. Les points où il y a un saut sont seulement ceux où on n'a pas la continuité, c'est bien ça?
2. Ensuite pour appliquer le théorème des sauts, on a besoin de $g'$,mais comment le calculer ici? ou bien il s'agit de $g'$ au sens des distributions et pas au sens fort?

La solution générale est
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
avec $C=e^a$ (en appliquant la méthode di facteur intégrale)
Si on veut que $\varphi$ soit à support compact, il faut que $Supp(\varphi) \subset [-M,M]$ avec $M > 0$.
$\varphi(-M)=0$ implique que $C e^{-M}=0$ qui implique que $C=0$ mais cela n'est pas possible puisque $C=e^{-a}$! Donc que faire?

Non c'est $Supp (\psi) \subset [-a,a]$ et je cherche à montrer que $\varphi$ donnée par
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
où $C= e^a$ (j'ai pris en compte votre dérnière remarque)
est à support compact.
Comment on fait exactement? S'il vous plaît.

Ah alors c'est bon? Merci beaucoup.
Mais j'ai une question qui me gêne. On a supposé que $Supp(\psi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$.
La solution générale est de la forme
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{x_0}^x e^s \psi(s) ds
$$
1. Comment expliquer le passage à l'écriture
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
2. Pourquoi on pose les conditions selon les bornes du compact $[-a,a]$ qui contient $Supp(\psi)$?
S'il vous plaît.