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#51 Re : Entraide (supérieur) » Question de convergence de séries » 30-06-2011 22:15:07
salut :
Merci pour les informations et pour le lien
tout simplement je crois que l'implication qu'il a écrit n'est pas juste.
#52 Re : Entraide (supérieur) » Question de convergence de séries » 30-06-2011 21:47:42
Salut tout le monde :
Je crois qu'il est indispensable de séparer les cas aussi comment tu peux montré cette implication
[tex]\sum {n}^{2}{{a}_{n}^{2}}[/tex] convergente [tex]\Rightarrow \,\,\,\,\,{n}^{2}{{a}_{n}^{2}}\leq \,\frac{1}{n}[/tex] ?
Cette dernière implication n'est pas juste car même si [tex]\lim_{n \to +\infty }{n}^{2}{{a}_{n}^{2}}=\,0[/tex], cela n'implique pas que [tex]{n}^{2}{{a}_{n}^{2}}<\frac{1}{n}[/tex] à partir d'un certain rang !
Merci
#53 Re : Entraide (supérieur) » Question de convergence de séries » 30-06-2011 17:48:15
Bonjour tout le monde !
Je m'excuse encore une fois j'appartiens bien à E .
J'ai trouvé la réponse à ma question :
Supposons que [tex]\left({a}_{n}\right)\,\in \,H\,\Rightarrow \,\sum^{+\infty }_{n=0}{n}^{2}{{a}_{n}}^{2}[/tex] est convergente.
Cas n°1.
Si [tex]\lim_{n \to +\infty }{n}^{2}\left|{a}_{n}\right|=l[/tex] avec [tex]0\leq l<+\infty [/tex]
Alors à partir d'un certain rang [tex]\left|{a}_{n}\right|{n}^{2}-l\leq 1\,\Rightarrow \,\left|{a}_{n}\right|\,\leq \,\frac{1+l}{{n}^{2}}\,\,\Rightarrow \sum^{+\infty }_{n=0}\left|{a}_{n}\right|\,cvte.\,[/tex]
Cas n°2.
Si [tex]\lim_{n \to +\infty }{n}^{2}\left|{a}_{n}\right|=+\infty \,[/tex]
Alors : [tex]\left|{a}_{n}\right|-{n}^{2}{{a}_{n}}^{2}=\left|{a}_{n}\right|\left(1-{n}^{2}\left|{a}_{n}\right|\right)\,\leq \,0[/tex] à partir d'un certain rang.
[tex]\Rightarrow \,\,\left|{a}_{n}\right|\,\leq \,{n}^{2}{{a}_{n}}^{2}[/tex] à partir d'un certain rang. Or [tex]\sum^{+\infty }_{n=0}{n}^{2}{{a}_{n}}^{2}\,<\,+\infty [/tex]
[tex]\Rightarrow \,\sum^{+\infty }_{n=0}{a}_{n}[/tex] est convergente.
#54 Re : Entraide (supérieur) » Question de convergence de séries » 30-06-2011 07:30:01
Bnojour,
Bon je m'excuse !
Aussi tu n'as pas du définir un ensemble d'Internautes non éduqués et me maître dedans. car enfin on oublie parfois des choses.
#55 Entraide (supérieur) » Question de convergence de séries » 30-06-2011 00:02:14
- Mstafa
- Réponses : 23
H l'ensemble des suites réelles [tex]{\left({a}_{n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}[/tex] tels que la série [tex]\sum^{+\infty }_{n=0}{n}^{2}{{a}_{n}^{2}}[/tex] soit convergente.
Montrer que si la suite [tex]\left({a}_{n}\right)\,[/tex] est dans H alors la série [tex]\sum^{+\infty }_{n=0}\left|{a}_{n}\right|[/tex] est convergente.
#56 Re : Entraide (supérieur) » partie égale » 29-06-2011 12:31:18
Oui bien sur qu'ils sont égales où est le problème ?
[tex]Supposons\,CA\,=\,CB\,;\,soit\,x\,\in \,A[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \,x\,\notin \,CA\,\Longleftrightarrow \,x\,\notin \,CB\,\Longleftrightarrow \,X\,\in \,B\,\,\,\,\,\,Par\,suite\,A\,=\,B[/tex]
#57 Re : Entraide (supérieur) » integrale impropre » 26-06-2011 18:42:05
Calculons la primitive [tex]F\left(x\right)\,=\int^{}_{}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,[/tex]
[tex]On\,a\,F\left(x)\right)=\int^{}_{}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt[/tex]
[tex]=[/tex] [tex]\int^{}_{}{\left(\frac{-1}{t}\right)}^{'}\ln \left(1-{t}^{2}\right)[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\int^{}_{}\frac{-2t}{t\left(1-{t}^{2}\right)}dt[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\int^{}_{}\frac{-2dt}{\left(1-{t}^{2}\right)}[/tex]
[tex]=\frac{-\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}-\int^{}_{}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt[/tex]
[tex]=-\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{t}+\ln \left(1-t\right)-\ln \left(1+t\right)[/tex]
[tex]=-\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}^{2}}+\ln \left(1-t\right)-\ln \left(1+t\right)[/tex]
[tex]=-\frac{\ln \left(1-t\right)-t\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}^{2}}-\ln \left(1+t\right)[/tex]
[tex]=-\frac{\left(1-t\right)\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}-\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}^{2}}-\ln \left(1+t)\right)[/tex]
[tex]Donc\,{\lim }_{t\rightarrow {1}^{-}}F\left(x)=0\,-\,\ln \left(2\right)\,-\,\ln \left(2\right)\,=\,-2\ln \left(2\right)[/tex]
[tex]Aussi\,{\lim }_{t\rightarrow {0}^{+}}F\left(x)\right)=0[/tex]
[tex]Par\,suite\,\int^{1}_{0}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt=-2\ln \left(2\right)[/tex]
#58 Re : Entraide (supérieur) » integrale impropre » 26-06-2011 16:33:54
Merci Groupoid Kid !
[tex]Tu\,as\,tout\,à\,fait\,raison\,j'ai\,oublier\,le\,\left(1-\eta\right)[/tex] [tex]et\,\int^{1}_{0}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\,\,\,\,est\,bien\,convergente\,au\,vois\,de\,1.[/tex]
[tex]En\,\,effet\,on\,sait\,que\,\,\,\,\,\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}\,=\,\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}+\frac{\ln \left(1+t\right)}{{t}^{2}}\,\,\,[/tex]
[tex]l'integrale\,du\,2eme\,thèrme\,est\,convergente\,au\,vois. de\,1[/tex]
[tex]pour\,le\,premier\,on\,sait\,que\, Li{m}_{t\rightarrow {1}^{-}}\left[{\left(1-t\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}\right]=0\,[/tex] [tex]car\,le\,{\left(1-t\right)}^{\frac{1}{2}}\,domin e\,au\,vois\,de\,1.[/tex]
[tex]\Rightarrow \,\,pour\,t\,assez\,proche\,de\,1\,\left|{\left(1-t\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}\right|<\frac{1}{2}\,\,\,[/tex]
[tex]\Rightarrow \,\,\left|\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}\right|<\frac{1}{2{\left(1-t\right)}^{\frac{1}{2}}}\,\,\,cela\,pour\,t\,assez\,pertit[/tex]
[tex]\int^{1}_{0}\frac{1}{2{\left(1-t\right)}^{\frac{1}{2}}}dt\,étant\,convergante\,\left(car\,\frac{1}{2}<1\right)\, \Rightarrow \,\int^{1}_{0}\frac{\ln \left(1-t\right)}{{t}^{2}}dt\,est\,convergente[/tex]
[tex]Par\,suite\,\,\,\,\int^{1}_{0}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\,\,\,est\,convergente\,au\,vois\,de\,1[/tex]
#59 Re : Entraide (supérieur) » integrale impropre » 24-06-2011 19:41:50
Mon avis : Je crois que cette intégrale est convergente au voisinage de 0 " ça tu l'as déjà montré" et qu'elle est divergente au voisinage de 1
car il n'est pas bornée à ce voisinage.
preuve :
[tex]on\,peut\,poser\,I\,=\,{I}_{1}+{I}_{2}[/tex]
[tex]avec\,{I}_{1}=\,\int^{\frac{1}{2}}_{0}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,{I}_{2}=\int^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt[/tex]
[tex]On\,a\,\,{\lim }_{t\rightarrow {1}^{+}}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}\,=\,-\infty [/tex]
[tex]Donc\,\forall \,A>0\,,\,\exists \eta>0\,telque\,pour\,tout\,\,\,\,\,\eta\,<\,t\,<1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}\,<\,-A[/tex]
[tex]\Rightarrow \,\forall \,A>0\,,\,\exists \,\eta>0,\,0<\eta<1\,\,telque\,pour\,tout\,\n\n\nt\,\,\eta\,<\,t\,<1\,\,on\,a [/tex]
[tex]{I}_{2}=\int^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\,=\,\,\int^{\eta}_{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}
{{t}^{2}}dt\,+\,\int^{1}_{\eta}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\,\,[/tex]
[tex]Or\,\,\int^{\eta}_{\frac{1}{2}}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\,\leq \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int^{1}_{\eta}\frac{\ln \left(1-{t}^{2}\right)}{{t}^{2}}dt\leq -A[/tex]
[tex]Donc\,\,\,{I}_{2}\leq -A\,\,\,\,\,cela\,pour\,tout\,A>0 \,\Rightarrow \,\,{I}_{2}=-\infty \,\,\,\,par\,suite\,I=-\infty [/tex]