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Vu la vitesse à laquelle tes nombres grandissent, je suppose que la fonction exponentielle n'est pas loin, j'ai alors supposé en 1er lieu que [tex]\forall n \in \mathbb{N}, V_n=\exp(n)[/tex].
Ça marche presque, tu as juste la partie entière, donc [tex]\forall n \in \mathbb{N}, V_n=\lfloor \exp(n) \rfloor[/tex].
Donc [tex]V_7=\lfloor \exp(7) \rfloor=1096[/tex].
Au passage, si j'ai trouvé le bon [tex]V_n[/tex], on a : [tex]\forall n \in \mathbb{Z}\diagdown\mathbb{N}, V_n=0[/tex]

Rebonjour, j'ai essayer de faire la paramétrisation de [tex]\mathcal{U}(2)[/tex].

Je sais que [tex]\mathcal{U}(2)=\{A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})| A^*A=1\!\!1_2\}[/tex]

Soient [tex]A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}[/tex], avec [tex]\begin{cases}a=a_1+ia_2 \\ b=b_1+ib_2 \\ c=c_1+ic_2 \\ d=d_1+id_2 \end{cases}[/tex] et [tex]A^*= ^t\!\!\!\bar{A}[/tex].

[tex]A^*A=\begin{pmatrix} \bar{a} & \bar{c} \\ \bar{b} & \bar{d}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bar{a}a+\bar{c}c & \bar{a}b+\bar{c}d \\ a\bar{b}+c\bar{d} & \bar{b}b+\bar{d}d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}[/tex]

On a alors [tex]\begin{cases} \bar{a}a+\bar{c}c=1 \\  \bar{b}b+\bar{d}d=1 \end{cases} \iff \begin{cases} |a|^2+|c|^2=1 \\  |b|^2+|d|^2=1 \end{cases}[/tex].

Je pose [tex]\begin{cases}|a|=\cos(\alpha)\\ |c|=\sin(\alpha) \\ |b|=\cos(\beta) \\ |d|=\sin(\beta) \end{cases} \iff \begin{cases}a_1^2+a_2^2=\cos^2(\alpha)\\ c_1^2+c_2^2=\sin^2(\alpha) \\ b_1^2+b_2^2=\cos^2(\beta) \\ d_1^2+d_2^2=\sin^2(\beta) \end{cases}, \text{ avec } \alpha,\beta \in \mathbb{R}[/tex].

Et là je bloque, je serais pas contre un petit coup de pouce.

Perso j'ai trouvé [tex]a^2+c^2=1[/tex] et [tex]b^2+d^2=1[/tex] (mais je pense que ça ne change rien), je pose [tex]\begin{cases} a=\cos(\alpha) \\ c=\sin(\alpha) \\ b=\cos(\beta) \\ d=\sin(\beta) \end{cases}[/tex].

L'autre égalité que je trouve grâce à [tex]^tAA=1\!\!1_2[/tex] est :[tex]ab+cd=0 \iff \cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)=0 \iff \cos(\alpha-\beta)=0 \\ \iff \alpha-\beta = \pm\frac{\pi}{2}[2\pi] \iff \alpha=\beta\pm\frac{\pi}{2}[2\pi].[/tex]

Ce qui donne : [tex]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \cos(\beta) \\ \sin(\alpha) & \sin(\beta) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\beta\pm\frac{\pi}{2}) & \cos(\beta) \\ \sin(\beta\pm\frac{\pi}{2}) & \sin(\beta) \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} -\sin(\beta) & \cos(\beta) \\ \cos(\beta) & \sin(\beta) \end{pmatrix} \text{ ou }  \begin{pmatrix} \sin(\beta) & \cos(\beta) \\ -\cos(\beta) & \sin(\beta) \end{pmatrix}[/tex]

Je reconnais la structure d'une matrice de rotation mais est-ce que s'en ai une ?

(petite question : est ce que c'est le même raisonnement pour le SO(2), U(2) et SU(2) ?)