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S'il vous plaît, comment s'expliquer à soi même de manière simple et efficace que si H est espace de Hilbert, alors H=H', mais que ça ne marche pas toujours sur les espaces de Sobolev car $H^{-m}=(H^m)'$, puisque h=H' repose sur un produit scalaire, et l'identification canonique repose sur un produit de dualité? Enfin je pense que c'est ça à peu près mais je n'arrive pas à comprendre ce point, et pourquoi on appelle $H^{-m}=(H^m)'$ l'identification canonique? S'il vous plaît.

Mais, la première partie du théorème dit que tout $T \in \mathcal{E}'$ est d'ordre fini, donc $m$ doit être indépendant de $K$. Que faire dans ce cas?

S'il vous plaît, et comment savoir si m dépend de K ou pas?

Merci beaucoup pour toute votre aide. Donc, on n'a pas besoin d'un autre compact $K_0$. C'est bien ça?

2. Aussi, dans le théorème de mon cours, je pense qu'il y a une erreur. Ca devrait être: si $T \in \mathcal{E}'$, alors quelque soit le voisinage compact $K$ de $Supp T$, il exist $c \geq 0$ t.q
$$
\forall \varphi \in \mathcal{E}, |\langle T,\varphi \rangle | \leq C P_{K,m}(\varphi)
$$
c'est bien ça?
Merci par avance pour votre aide.

et pourquoi il faut ajouter cette contrainte de $Supp T \subset V \subset Supp(\chi)$? S'il vous plaît

Alors voici la preuve. On commence par choisir un compact $K$ suffisemment grand pour qu'il contienne $Supp T$. Pourquoi? S'il vous plaît.

Ensuite, soit $\varphi \in C^\infty$, à partir de $\varphi$ on construit une fonction à support compact, et pour ça on utilise une fonction plateau: $\chi$ t.q $\chi=1$ au voisinage $K$. Ainsi,  $\chi \varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega)$. On a:
\begin{align*}
|\langle T,\varphi\rangle| &= |\langle T,\chi f\rangle |\\
& \leq C P_{K,m}(\chi \varphi)
\end{align*}
On a:
Par définition de $P_{K,m}$ et par Leibniz, que:
\begin{align*}
P_{K,m}(\chi \varphi) &= \sup_{x \in K,|\alpha| \leq m} |D^\alpha (\chi \varphi)|\\
&= \sup_{x \in K,|\alpha|\leq m} |\sum_{k=0}^{\alpha} \begin{pmatrix} &\alpha\\ &k \end{pmatrix} \chi^{(\alpha-k)} \varphi^{(k)}|
\end{align*}
et puisque $\chi=1$ sur $K$, on a
\begin{align*}
&= \sup_{x \in K,|\alpha|\leq m} |\sum_{k=0}^{\alpha} D^k \varphi|\\
& \leq c' P_{K_m}(\varphi)
\end{align*}
avec $C'= \begin{pmatrix} &\alpha\\ &k \end{pmatrix}$

Mais normalement, puisque $\chi=1$ au voisinage de $K$, alors $D^{\alpha}(\chi \varphi)= D^\alpha \varphi$ directement. Non?

Merci par avance pour votre aide.

Avant d'écrire la dérnière version corrigée de mon raissonement, j'ai une question s'il vous plaît. On applique $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$ à une fonction $\varphi \in C^\infty(\Omega)$. Pourquoi il faut ajouter que $Supp \varphi \subset Supp T$? Normlement, on ne devrait rien imposer au support de $\varphi$.S'il vous plaît, et quel est le lien avec le théorème qui dit que $\varphi=0$ au voisinage de $Supp T$ alors ça implique que $<T,\varphi>=0$?
Merci par avance pour votre aide.

Bonjour,
j'ai essayé d'étudier attentivement leséléments de réponse que vous m'avez apporté. J'ai essayé aussi de refaire la preuve seule de manière logique, et je souhaite que vous donniez quelques remarques s'il vous plaît.
Soit $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$. Celà signifie que $T$ est une distribution à supoort compact. Le fait que $T$ soit une distrubtion, nous donne que
quel que soit le compact $K$ de $\Omega$, il exist $c\geq 0$, il existe $m \in \mathbb{N}$ tels que  quelque soit $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega): |\langle T,\varphi \rangle| \leq C P_{K,m}(\varphi)$.
On va utiliser cette dérnière formule pour montrer que si on applique $T$ à une fonction de classe $C^\infty$, alors on aura aussi la continuité et un ordre fini.
Soit $\varphi \in C^\infty(\Omega)$. Afin d'utiliser le résultat de continuité de $T \in D'$, nous aller essayer d'écrire $\varphi$ en utilisant une fonction à support compact. Pour ça, on utilise une fonction plateau.
Soit $\chi \in \mathcal{K}(\Omega)$ tel que $K \subset Supp T$, et $\chi=1$ sur $K$.
On  relarque que $\varphi(x)= \chi(x) \varphi(x) \in \mathcal{D}_K(\Omega)$. Alors on a:
\begin{align*}
|\langle T,\varphi\rangle| &= |\langle T,\chi \varphi\rangle|\\
& \leq C P_{K,m}(\varphi)
\end{align*}

1. Comment on peut en déduire que $|\langle T,\varphi \rangle| \leq C' P_{K,m}(\varphi), \ \forall \varphi \in C^\infty(\Omega)$?
2. Dans la preuve du cours, on utilise $K$ et $K_0$: $K$ un compact quelconque, et $K_0$ un compact voisinage de $Supp T$. Quel est l'interêt? et comment savoir si $m$ dépend de $K$ ou bien de $K_0$?
3. On dit que ça ne sert à rien de voir $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$ en dehors de $Supp T$, celà veut dire que $\varphi$ ne dois pas être que dans $C^\infty$, elle doit satisfaire $Supp \varphi \subset Supp T$. Non? Et dans ce cas là, $\varphi$ devient à support compact. Je me trompe?
Merci pour votre aide.

Je veux dire que dans mon cours, la définition est: soit $T \in \mathcal{E}'$ et soit $\varphi \in \mathcal{E}$.. On a
$$
\langle \tilde{T},\varphi\rangle_{\mathcal{E}',\mathcal{E}}= \langle T,\chi \varphi \rangle_{D',D}.
$$
Ce que je ne comprend pas, c'est pourquoi parler de $\tilde{T} \in \mathcal{E}'$ or que $T$ est déjà dans $\mathcal{E}'$? S'il vous plaît

Oui, $\mathcal{E}(\Omega)= C^\infty(\Omega)$.

1. La différence entre $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ et $\tilde{T} \in \mathcal{E}'(\Omega)$, est que $T$ s'applique à des fonctions test, et $\tilde{T}$ s'applique à un ensemble plus large qui est $C^\infty$
1. Ce que je ne comprend pas, c'est la manière de définir le prologement.
Dans ce que je lis, on commence par poser $T\in \mathcal{E}'$ et $\varphi \in \mathcal{E}$, puis on dit soit $\chi \in \mathcal{D}$ t.q $\chi=1$ au voisinage de $Supp T$
et on dit que le prolongement est définit par
$$
\langle \tilde{T},\varphi\rangle_{\mathcal{E}',\mathcal{E}} = \langle T,\chi \varphi \rangle_{D',D}
$$
Déjà, je pense qu'il faudrait commencer par considerer $T$ dans $\mathcal{D}'$ et pas dans $\mathcal{E}'$. Non? Et puis préciser que $\chi$ est à support compact , d'ailleurs à quoi ca sert de dire qu'elle vaut 1 au voinage de Supp T? Je n'ai pas compris ce point dans l'autre fil.

2. Est ce que vous pouvez me proposer une définition propre du prolongement de la dualité $\langle .,.\rangle_{D',D}$? S'il vous plaît.
Merci pour votre aide.

La question est bien de montrer que si $T \in E'(\Omega)$, alots $T$ est co,ntinue et d'ordre $m$. Je souhaite oublier la démo que j'ai écrit car je n'y comprend strictement rien.
Puisque toute distribution à support compact est une distrubution, on a que quelque soit le compact $K$ il exist $c \geq 0$ et $m$ t.q $\forall \varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega): |\langle T,\varphi \rangle| \leq C P_{K,m}(\varphi)$
Ma question est qu'est ce qui change puisque $T$ est à support compact? et pourquoi faire intervenir une fonction qui vaut $1$ sur le compact $K$? S'il vous plaît.
Merci d'avance.

S'il vous plaît est-ce qu'il y a une manière simple et logique  pour faire cette preuve? S'il vous plaît. Pour que je puisse comprendre étape par étape de manière naturelle?