Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ya juste un truc c'est que il y a théorème du point fixe qui dit que toute fonction continue sur un ensemble convexe compact possède un point fixe

Pour la rotation le centre est un point fixe .

je sais pas j'ai pas bien compris le contre exemple je suis mieux dans R que dans C, et au sujet de la suite on peut définir la suite récurrente sur E que vous avez donné merci

pourquoi [tex]\exp{(\frac{i\pi}{2})}=i[/tex] ?

Je ne sais pas comment on définie l'application rotation mais le centre n'est un point fixe ?

Yes j'ai compris merci,  mais on peut mettre [tex]\displaystyle d\big( (x_{\phi(n)},y_{\phi(n)}),(x_0,y_0)\big)<\delta[/tex] et dire [tex]d(f^k(x_0),f^k(y_0))<\delta+d(x_0,y_0)\leq d(f(x_0),f(y_0))[/tex].

Pour la continuité de [tex]f[/tex] on prend une  suite [tex]x_n\rightarrow x[/tex] et on doit montrer que [tex]f(x_n)\rightarrow f(x)[/tex]
mais par l'isométrie on a [tex] d(f(x_n), f(x_0))= d(x_n,x_0)<\varepsilon[/tex] donc f est continue !

Il me reste la dernière question sur le point fixe, je dois montrer qu' il existe [tex]x\in E[/tex] tel que [tex]f(x)=x[/tex],

a premiére vue si la suite x_n est constante alors f a un point fixe, mais je n'arrive pas a faire un raisonnement convenable

Merci d'avance pour votre aide .

J'ai corrigé.

Une fois qu'on a que [tex](x_0,y_0)[/tex] est une valeur d'adhérence pour la suite [tex](x_n,y_n)[/tex] , pour montrer l'isométrie on fait par l'absurde , ou on peut voir ça directement?

Merci

Bonjour,

On dit que [tex](x_n,y_n)[/tex] est une suite du compacte et métrique [tex]E\times E[/tex] , donc admet une sous suite qui converge qui est de Cauchy [tex](x_{\varphi(n)}, y_{\varphi(n)})[/tex] de Cauchy veut dire que [tex]\forall \varepsilon >0, \exists n_0\in \mathbb{N}, \forall p,q\geq n_0, d((x_{\varphi(p)},y_{\varphi(p)}), (x_{\varphi(q)},y_{\varphi(q)}))<\varepsilon[/tex]

et on veut montrer que [tex]\forall\varepsilon>0, \forall n\in \mathbb{N}, \exists N\geq n , d((x_N,y_N),(x_0,y_0))<\varepsilon[/tex]

c'est correcte pour le moment? comment terminer avec la distance sur un produit c'est la somme des distances ?

Merci d'avance

Si je dis ça : Supposons qu'il existe [tex]x_0, y_0[/tex] tel  que  [tex]d(f(x_0),f(y_0))-d(x_0,y_0)>0[/tex]  puis je dis que d'après la 1ére question [tex]x_0[/tex] et[tex] y_0[/tex] sont respectivement deux valeurs d'adhérences pour les suites [tex](x_n)[/tex] et [tex](y_n)[/tex] donc il existe [tex]n_0[/tex] tel que [tex]d(x_{n_0},x_0)<\frac{\delta}{2}[/tex]  et [tex]d(y_{n_0},y_0)<\frac{\delta}{2}[/tex], et je continue comme vous  avec l'inégalité triangulaire

est ce que c'est correcte ?

Merci

qui est k ? je n'ai pas bien saisie l'idée de la preuve.

Merci

Après avoir revu l'énoncé oui x_0 est quelconque dans E .

S'il vous plait pour la 3éme je ne comprend pas si par hypothèse on a [tex]\displaystyle \forall (x,y)\in E^2, d(f(x),f(y))\geq d(x,y)[/tex] pourquoi on cherche l'égalité ?