Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Rèponse à # 63 (k-lys)

Il vaut mieux en rester là.

Réponse a # 53, 55, 56, 57 (k-lys)

Il est clair que tu n'as pas pris le temps de comprendre ce que je fais. Dès lors, tes commentaires, tout en étant très intéressants, sont hors sujet. Je vais donc m'expliquer une fois de plus, mais en utilisant un vocabulaire plus serré pour ne pas passer pour un radoteur.

# 53

1) Dans la discussion sur ce forum où je ne fais que répondre aux questions posées, le résultat recherché n'est pas "R est dénombrable" comme tu le dis (c'est l'objet du Texte B), mais de montrer que, en logique standard, la démonstration donnée (argument diagonal) de "R n'est pas dénombrable" n'est pas valable. Ce n'est pas du tout la même chose; dans la logique du premier ordre de ZFC cette démonstration est a priori valable.

#55

2) Dans la première partie du texte B (paragraphes 1 et 2), mon objectif est le suivant : démontrer à l'aide d'un raisonnement imprédicatif (i.e. qui fait abstraction des prédicats), je répète : raisonnement imprédicatif, que tout ensemble E ayant au moins deux éléments est totalement ordonné par une relation de type D.

3) Le raisonnement imprédicatif est possible grâce à la logique de la relation dans ZFC (l'ensemble des parties et l'ensemble produit étant imprédicatifs). On en trouve des exemples en analyse combinatoire (ex. dénombrement des surjections de X dans Y, deux ensembles finis et de cardinaux respectifs n et m).

4) Donc, par hypothèse, tout ce qui est donné à propos de E et de ses éléments est : E est un ensemble ayant au moins deux éléments, point final.

5) Il est évident que toute propriété de E démontrée dans ce contexte sera nécessairement vraie pour tous les ensembles particuliers N, pour Q pour R...

6) Il est nécessaire, aussi bien pour la démonstration du Texte B que pour sa critique de respecter l'hypothèse et ce contexte. Ce qui veut dire qu'on ne doit substituer à E aucun ensemble particulier.

7) Je rejette toute preuve ne respectant pas cette discipline. C'est le cas pour tes arguments.

Messages # 56, # 57

8) Lorsque j'écris E={a,b,c} a, b et c sont des constantes d'individus distincts dont on ne connaît pas les propriétés (on est en mode imprédicatif).

9) La remarque 2.6.3 (dans la version du 20.02.07) est capitale. J'ai repris l'expression "puits sans fond" que m'avait suggérée un internaute. On dirait que tu ne l'as pas vue; dommage car, avec les règles 1.1, elle montre la cohésion de la "chaîne" .

10) Pour ce qui est des améliorations qu'on pourrait apporter à la forme du texte B, ça peut attendre… ma démonstration peut très bien être fausse.

Cordialement.

Réponse à # 49 (Commentaire)

Grâce à l'anonymat du pseudo n'importe qui peut affirmer : "sa démonstration est clairement fausse", ou son contraire. C'est sans risque puisque rien n'oblige à fournir la preuve de ce qu'on avance. On peut donc désinformer, diffamer, insinuer, manipuler en se disant qu'il en restera toujours quelque chose.
Votre message ne contient aucune preuve, c'est un "message du Corbeau". Poubelle.
Bonnes rigolades avec Mmm (# 23), c'est excellent pour la santé !

Réponse à # 45 (Stokastik)

Affirmatif, le "Texte B" démontre dans ZFC qu'il n'existe aucun ensemble de puissance non dénombrable.
C'est valable pour les mathématiques actuelles puisqu'elles sont formalisées par ZFC.

Réponse à # 42 (Stokastik)

J'utilise ZFC "classique". Tu en doutes ? Explique-toi.

A propos de S. Poirier.
Le ton de l'extrait que tu donnes est au mieux méprisant. On pourrait penser que ce monsieur cherche surtout à se rassurer lui-même. On est sur Internet, pas dans un amphi.
Ma réponse est donc : à chacun de juger.

Si mes réponses ne correspondent pas à ton attente, il ne tient qu'à toi de reformuler les questions et de recentrer la discussion pour que ça ne parte pas dans tous les sens.

Réponse au # 36 (Mohwali Awamar)

Dans l'Encyclopaedia Universalis (2005), Jean-Luc VERLEY écrit :
« Les premières investigations de Cantor sont relatives à la possibilité de ranger certains ensembles de nombres en une suite simple u1, u2, ..., un... Cantor montre que c'est le cas pour toute suite multiple (linéarisation) et pour l'ensemble des nombres rationnels, tandis que Dedekind lui communique le même résultat pour les nombres algébriques, c'est-à-dire les nombres qui sont racines d'équations à coefficients entiers. En est-il de même de l'ensemble des nombres réels ? Quelques jours après s'être posé cette question, Cantor y répond par la négative et dégage immédiatement la portée de ce résultat pour l'analyse : il existe une infinité de nombres transcendants et ces derniers ne se laissent pas ranger en une suite simple. »

Il apparaît donc que : en utilisant la méthode de la "suite simple" Dedekind, et non Cantor comme je l’ai évrit dans # 33), a démontré que l'ensemble des algébriques est dénombrable, et que Cantor a démontré que l'ensemble des réels R n'est pas dénombrable.
Il n'est pas dit qu'il a aussi démontré, en utilisant la méthode de "la suite simple", ou une autre, que l'ensemble des transcendants n'était pas dénombrable. Ce n'était pas nécessaire car R étant la réunion de ces deux ensembles, ils ne pouvaient être tous deux dénombrables (dénombrable + dénombrable = dénombrable).
Je ne sais pas s’il existe une "démonstration effective" de la non-dénombrabilité des transcendants.

Réponse à # 38 et # 39 (Mohwali Awamar)

Dans le P.S. : de quelle démonstration s’agit-il ?

Réponse à Mahow (# 30)

Ce que j'ai trouvé sur les transcendants :
Sont dits algébriques les réels racines de polynômes à coefficients entiers, les autres réels sont dits transcendants. La transcendance de pi a été établie en 1882.
Après avoir démontré que R n'est pas dénombrable (c'est le théorème qui nous occupe ici) Cantor a démontré que le sous-ensemble des nombres algébriques est dénombrable, il en a donc déduit que le sous-ensemble des nombres transcendants n'est pas dénombrable. La non dénombrabilité de l'ensemble des transcendants est donc conséquence de la non dénombrabilité de R.

Mais c'est vrai qu'il ne suffirait pas de démontrer que le théorème de Cantor est faux pour démontrer qu'il n'existe pas de démonstration prouvant l'existence d'au moins un ensemble non dénombrable.

Supposons donc qu'une telle démonstration existe, ce qui revient à dire que la proposition P = "Tout ensemble infini est dénombrable" est fausse.

- Le problème est que, en raisonnant dans la théorie des ensembles on peut démontrer que tout ensemble E d'au moins deux éléments (on fait abstraction de leur nature) est dénombrable et donc que P est vraie (cf. "Texte B" de mon site).

- Résultat : P est vraie et fausse, ce qui est contradictoire. C'est la pire des situations !

Suite du 25 et réponse au 26 (stokastik)

On reprend…
Tout nombre réel possède, de par sa nature, la propriété naturelle : "peut être représenté sous la forme d'un développement décimal". Elle est indispensable pour la démo. Grâce à elle on peut construire la diagonale, définir une transformation de cette diagonale et, surtout, dire que le résultat de cette transformation est un nombre réel appartenant à l'intervalle I des réels sélectionné pour la démo.
Il me semble évident qui si on utilisait un raisonnement faisant abstraction de la nature des réels en jeu on aurait un problème.
Les réels dont on a besoin sont, par hypothèse, donnés dans une suite dénombrable, c'est-à-dire par une application g de N dans l'intervalle I. Il faut qu'ils soient donnés sous la forme d'un développement décimal. L'application g doit donc être définie localement (la liaison entre l'élément de N et son image dans I est fait au moyen de leurs propriétés naturelles respectives). On peut dire "naturel" au lieu de "local".

Et maintenant…
Si on fait abstraction de la nature des éléments (on fait abstraction du fait que ce sont des nombres entiers ou réels) de N et de R, cela ne modifie pas la puissance des deux ensembles. Que nous reste-t-il ? Un ensemble infini dénombrable N, un ensemble infini R. On dispose aussi de l'ensemble produit NxR dont une partie G est le graphe de l'application g. Les éléments de G sont, par définition, des couples ordonnés (a, x) où la première projection a, est un élément de N et la seconde projection x, un élément de R, et où x est l'image g(a) de a.
On suppose que g est surjective. On peut alors décrire g à l'aide des propriétés (formelles) de G :
a) pour tout a appartenant à N  il existe un et un seul x appartenant à R tel que (a, x) appartient à NxR  et b) pour tout x appartenant à R  il existe au moins un a appartenant à N  tel que (a, x) appartient à NxR.Toute partie de NxR  vérifiant ces propriétés est le graphe d'une application surjective de N dans R.
Si on réussit à démontrer qu'au moins une telle partie existe dans NxR, on aura démontré que R est dénombrable et, comme la preuve aura été faite en faisant abstraction de la nature des éléments de R, que tout ensemble infini est de puissance dénombrable.
C'est ce que je fais dans le texte B de mon site (pas de bla-bla, des formules), mais en me servant d'une autre structure, celle d'une certaine relation d'ordre (*). Le chemin est assez long et fastidieux, et on est loin de l'élégance de l'argument diagonal, mais on démontre (jusqu'à preuve du contraire) que tous les ensembles infinis ont même puissance dénombrable. Dès lors si on dit aussi que R n'est pas dénombrable, on crée une contradiction.

(*) Le Texte B a pour but de démontrer que pour tout ensemble infini E il existe une partie D de ExE qui est le graphe d'une relation d'ordre de domaine E, et dont le modèle est en fait le graphe de la relation d'ordre naturel, <, de l'ensemble des entiers naturels N.
On peut alors construire une bijection de E sur N et dire que les deux ensembles sont équipotents et que D est le graphe d'une relation de bon ordre.
Pour ne pas alourdir encore le texte la relation D est confondue avec son graphe, étant donné qu'on fait toujours abstraction de la nature des éléments de E.

Réponse au 27 (stokastik) :

Cette page est en ligne depuis Janvier 2006.

Ce problème relève de la logique mathématique et de la théorie des ensembles (fondateur : G. Cantor). Sur le site http://perso.wanadoo.fr/moiseti je démontre que tous les ensembles infinis ont la même puissance, celle de N (ensemble des entiers naturels), et que, par conséquent, R (ensemble des réels) est dénombrable. Attention, il faut bien connaître la théorie des ensembles (ZFC).