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#26 Re : Entraide (collège-lycée) » exo diffice de combinaison [Résolu] » 13-09-2009 14:44:14
Re,
NON! je ne sait pas pourquoi, j'ais confondu n avec k, malheur! je recommence tout:
[tex]\sum^{n}_{k=0}k²\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k²\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k\times k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{{\left(n\left(n+1\right)\right)}^{2}}{2}[/tex] [tex]\times \sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{{2}^{n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)}^{2}}{2}[/tex]
Je crois que c'est bon
Re
Ne pense pas que c'est plutôt cela?? :
[tex]\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}k\,\times \,\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{{\left(n\left(n+1\right)\right)}^{2}}{4}\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}[/tex]
Merci
#27 Re : Entraide (collège-lycée) » exo diffice de combinaison [Résolu] » 13-09-2009 14:33:14
ok pour moi aussi c'est bon. Cependant juste une question : dans l'enoncé le "on pourra poser k²=k(k-1)+k" ne sert donc à rien? Merci
#28 Re : Entraide (collège-lycée) » exo diffice de combinaison [Résolu] » 13-09-2009 14:00:36
bonjour
Merci de votre réponse,
Cependant pouvez vous s'il vous plaît m'expliquer ces étape :
[tex]\sum^{n}_{k=0}k\left(k-1\right)+k\,+\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\sum^{n}_{k=0}k\times \sum^{n}_{k=0}\left(k-1\right)\,+\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\times[/tex][tex]\frac{k\left(k+1\right)-2k}{2}[/tex][tex]+\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}[/tex]
Je ne comprends pas ce que devient le "+k" entre la 1ere étape et la 2eme. De plus Je ne comprends pas le [tex]\frac{k\left(k+1)-2k\right)}{2}[/tex] .
Merci de votre explication.
#29 Entraide (collège-lycée) » exo diffice de combinaison [Résolu] » 13-09-2009 11:57:25
- pokkiri23
- Réponses : 27
Salut a tous les forumeurs,
Bon voila un dernier exo sur les combinaisons un peu plus dur que les autres.
Voici l'énoncé :
Calculer [tex]\sum^{n}_{k=0}{k}^{2}\binom{n}{k}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,on\,pourra\,poser\,{k}^{2}=\,k\left(k-1\right)+k[/tex]
Dans cet exercice je ne sais par où commencer :
Si je commence par [tex]\sum^{n}_{k=0}k\left(k-1\right)+k\,\binom{n}{k}[/tex]
après on a [tex]\sum^{n}_{k=0}k\left(k-1\right)+k\left(\frac{n!}{k!\left(n-k)\right)!}\right)[/tex]
2eme méthode : on coupe la somme en deux [tex]\sum^{n}_{k=0}k\left(k-1\right)\binom{n}{k}+\sum^{n}_{k=0}k\binom{n}{k}\,[/tex]
et comme [tex]k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}[/tex]
on a donc [tex]\sum^{n}_{k=0}k\left(k-1\right)\binom{n}{k}+\sum^{n}_{k=0}n\binom{n-1}{k-1}[/tex]
Mais après je suis bloqué, je ne sais pas comment avancé et par où commencer. Merci de votre aide. Cordialement
#30 Re : Entraide (collège-lycée) » somme de combinaisons [Résolu] » 13-09-2009 11:07:25
oui désolé. c'est mon problème : je suis trop fixé sur mon cours. Je devrai me détacher un peu de celui-ci. Désolé pour l'erreur.Merci
#31 Re : Entraide (collège-lycée) » somme de combinaisons [Résolu] » 13-09-2009 10:55:08
Re
Donc pour finir
on a [tex]\sum^{p}_{k=0}\binom{p}{k}=\,{2}^{n}[/tex]
Donc Sn = [tex]{2}^{n}\binom{n}{p}[/tex]
Est ce bon? Merci de votre aide
#32 Re : Entraide (collège-lycée) » somme de combinaisons [Résolu] » 13-09-2009 10:42:03
Merci beaucoup yoshi, j'ai compris. Vous êtes vraiment formidables toi et freddy!!
#33 Re : Entraide (collège-lycée) » somme de combinaisons [Résolu] » 13-09-2009 10:13:24
Bonjour
Je ne comprends pas comment vous passez de la 1ere ligne :
[tex]S_{n,p} = \sum^{p}_{k=0}\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(n-k)!}{(p-k)!(n-p)!}[/tex]
à la deuxième ligne :
[tex]S_{n,p} = \binom{n}{p}\sum^{p}_{k=0}\binom{p}{k}[/tex]
Merci de votre explication
En ce qui concerne la remarque de yoshi, j'ai confondu avec [tex]\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}={\left(1+1\right)}^{n}={2}^{n}[/tex]
Merci quand même d'avoir fait la remarque. Cela me permet de comprendre mes fautes.
#34 Entraide (collège-lycée) » somme de combinaisons [Résolu] » 12-09-2009 22:21:51
- pokkiri23
- Réponses : 11
Salut je sais qu'il est un peu tard.. (il n'y a pas d'heure pour faire des maths =) )
donc voila un dernier exo pour aujourd'hui :
Calculer : n appartient N\ {0}(entier naturel privé de zéro)
SN = [tex]\sum^{p}_{k=o}\binom{n}{k}\binom{n-k}{p-k}[/tex]
Voici mon raisonnement :
on sait que : [tex]\sum^{p}_{k=o}\binom{n}{k}[/tex] = [tex]{\left(1+1\right)}^{n}=\,{2}^{n}[/tex]
De même : [tex]\sum^{p}_{k=0}\binom{n-k}{p-k}\,=\,{\left(1+1\right)}^{n-k}=\,{2}^{n-k}[/tex]
Donc Sn = [tex]{2}^{n\,}\times \,{2}^{n-k}[/tex]
Je ne sais pas si c'est bon. Merci de votre aide et Bonne nuit !!!
#35 Re : Entraide (collège-lycée) » Alignement de 3 points [Résolu] » 12-09-2009 21:11:48
Salut
Soit M1, M2 , M3 trois point distincts
Si la pente de la droite (M1 M2) est égale à celle de la droite (M2 M3) alors les 3 points sont alignés.
Petit rappel : pente AB = [tex]\frac{\left(yb-ya\right)}{\left(xb-xa\right)}[/tex]
#36 Re : Entraide (collège-lycée) » Combinaisons : calcul du Somme [Résolu] » 12-09-2009 20:30:10
ok merci j'ai compris.
#37 Re : Entraide (collège-lycée) » Combinaisons : calcul du Somme [Résolu] » 12-09-2009 19:25:27
Re
il y a juste une chose que je ne comprends
comment [tex]ij\,=\,\frac{{n}^{2}{\left(n+1\right)}^{2}}{4}[/tex]
car dans mon cours il y a [tex]ij\,=\,\frac{{n}^{2}{\left(n+1\right)}^{2}}{4}[/tex] [tex]=\,\sum^{n}_{k=1}{k}^{3}[/tex]
Merci de ton explication
#38 Re : Entraide (collège-lycée) » comment arriver à remonter la pente en maths ? » 12-09-2009 18:37:45
essaye plutôt de revoir le programme de 3 eme et 2nd : en 2 jours tu peux les survoler. Car les bases sont vraiment très importantes. Je trouve aussi que tu te pose trop de questions. Travaille régulièrement et tu verras sa sera plus façile. Te pose pas autant de question mais fonce : nothing is impossible
#39 Re : Entraide (collège-lycée) » Combinaisons : calcul du Somme [Résolu] » 12-09-2009 18:33:57
Re
ok merci je vais refaire l'exo pour voir si j'ai compris.
#40 Entraide (collège-lycée) » Combinaisons : calcul du Somme [Résolu] » 12-09-2009 17:01:52
- pokkiri23
- Réponses : 8
Bonjour
Donc voila comme promis un nouvel exo:
Calculer Sn : [tex]\sum^{}_{}{\left(i-j\right)}^{2\,}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i\,et\,j\,appartiennent\,\left[\left\|1\,;\,n\right\|\right][/tex]
Donc voilà ce que j'ai trouvé :
En utilisant le binôme de Newton on a [tex]{\left(i-j)\right)}^{2}=\sum^{}_{}\binom{2}{k}{i}^{2-k}{j}^{k}[/tex]
D'ou [tex]{\left(i-j)\right)}^{2\,}=\,\binom{2}{1}ij\,+\,\binom{2}{2}{j}^{2}[/tex]
donc : [tex]{\left(i-j\right)}^{2}=\,2ij+{j}^{2}[/tex]
et enfin on a donc :
[tex]Sn\,=\,\sum^{}_{}\left(2ij+{j}^{2}\right)[/tex]
Voila mais je ne sais pas si c'est bon. Merci de votre aide
Cordialement
#41 Re : Entraide (collège-lycée) » comment arriver à remonter la pente en maths ? » 12-09-2009 16:46:17
salut,
Il n'y a pas de secret de progresser en maths : il faut travailler sur le long terme. Ce n'est pas un prof qui forge un élève mais l'élève lui même. Achète le livre "interro des lycées de 1ere en mathématiques" il y a pleins d'exo corrigé avec un très bon cours. Donc voila, garde courage et tu progressera.
#42 Re : Entraide (collège-lycée) » combinaison [Résolu] » 12-09-2009 14:42:57
Par contre j'ai une dernière chose à vous demander. Pouvez vous s'il vous plaît m'écrire en français les étapes que vous avez utilisées pour trouver le résultat comme sa se me souviendrai du raisonnement . Merci d'avance
#43 Re : Entraide (collège-lycée) » combinaison [Résolu] » 12-09-2009 14:22:16
Re,
je tiens une piste :
[tex]\sum^{n\,}_{k=1}k\binom{n}{k}{2}^{k-1}=n \sum^{n-1\,}_{p=\,0}\binom{n-1}{p}{2}^{p}[/tex]
car [tex]k\binom{n}{k}= \frac{n(n-1)\,!}{(k-1)!(n-k)!}= n\binom{n-1}{k-1}[/tex]
donc
[tex]\sum^{n\,}_{k=1}k\binom{n}{k}{2}^{k-1}=n\,3^{n-1}[/tex]
sauf erreur, bien sûr.
L'expression de départ est bien celle de freddy. Désolé car j'avais fais de nombreuses modifications.
#44 Re : Entraide (collège-lycée) » combinaison [Résolu] » 12-09-2009 14:18:30
C'est aussi ce que j'ai trouvé. Merci et si certains trouvent encore d'autres résultats , c'est avec plaisir . Merci, ce forum est vraiment très bien avec des réponse très rapides. Continuons et nous progresserons!!! Peut être a tout l'heure parce que je fais plein d'exercice niveau prépa alors que je suis qu'en terminale car je suis dans un des "grands lycée" de Paris. Je vous remercie énormément de votre aide.
#45 Re : Entraide (collège-lycée) » combinaison [Résolu] » 12-09-2009 12:38:42
ok merci pour ta réponse. Je vais voir ce que sa donne. Merci
#46 Re : Entraide (collège-lycée) » combinaison [Résolu] » 11-09-2009 18:55:27
Peut-être essayer de se ramener à une formule du binôme de Newton??
#47 Re : Entraide (collège-lycée) » combinaison [Résolu] » 11-09-2009 18:23:11
Salut
Il s'agit de calculer la somme ( de k=a à n) de (k)* (k parmi n) * 2^k-1. Merci