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Mais Fred dit qu'il n'admet pas d'inverse et je comprend pas pourquoi

une seconde. On sait que si [tex]F(f)[/tex] est[tex] L^1[/tex], alors f est continue.
et donc par contraposé, si f n'est pas continue, sa implique que sa transformée de Fourier n'est pas intégrable.

Mas d'après ce que vous dite, si f est intégrable alors sa transforée de Fourier est continue. Tout est embrouillé. Please pourvez vous m'écrire de manière claire, ces relatrions entre continuité et intégrabilité des fonctions et de leurs transformées de Fourier? Je souhaite comprendre please. Merci beaucoup.

Pour [tex]f \in S(\mathbb{R})[/tex] la formule d'inversion de Fourier dit que
[tex]
f(x)= \dfrac{1}{2\pi} \widehat{\widehat{f(-x)}}
[/tex]
dans l'exercice, on a trouvé que
[tex]
f(x)=\dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2i\xi}(\widehat{e^{-\epsilon[x[}})
[/tex]
On déduit de la formule d'inversion de Fourier, que
[tex]
\widehat{\widehat{f}}(-x)= (2 \pi) f(x)
[/tex]
qui implique que
[tex]
\widehat{\widehat{f(x)}}= (2 \pi) f(-x).
[/tex]
et donc
[tex]
\widehat{f(x)}= \dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2 i \xi} \widehat{\widehat{e^{-\epsilon|x|}}}= \dfrac{2 \pi \epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2 i \xi} e^{-\epsilon|x|}
[/tex]
et donc
[tex]
\widehat{f}(x)= \dfrac{\epsilon}{i\xi} e^{-\epsilon|x|}
[/tex]

c'est ok?

Pour la transformé de Fourier de [tex]exp(-\epsilon|x|)[/tex], on trouve [tex]\dfrac{2i_xi}{\epsilon^2+\xi^1}[/tex]
on remarque que
[tex]f_{\epsilon}(x)=\dfrac{\epsilon}{\pi} \dfrac{1}{2i\xi} F(e^{-\epsilon |x|})[/tex]
de là, comment déduire la transformée de Fourier de f? Merci beaucoup.

Puisque
[tex]||g||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||\widehat{g}||_{L^2}[/tex]
alors
[tex]
||\widehat{g}(2 \pi\xi)||= (2 \pi)^{n/2} ||g(2 \pi x)||_{L^2}= (2 \pi)^{n/2} \displaystyle\int_{-\infty}^0 |g(2 \pi x)|^2 dx
[/tex]
c'est ok?

Je suis perdue maintenant. Dans l'exemple avec la boule pourquoi on était sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et pas sur [tex]\mathbb{R}[/tex], et dans cet exercice on est sur[tex] \mathbb{R}[/tex]?

dans [tex]exp(-\epsilon |x|)[/tex] . |x| représente la norme euclidienne?

Non, je n'ai pas fait autre chose, c'est la première question de l'exercice.

Voici ce que je trouve. Le théorème d'inversion locale nous dit que [tex]F(F(f))(x)=f(-x)[/tex]
On a:
[tex]
<f,g>= \displaystyle\int f(x) \bar{g(x)} dx = \displaystyle\int F(F(f))(-x) \bar{g(x)} dx = \displaystyle\int (\displaystyle\int F(f) e^{ixt} dt] \bar{g}(x) dx
[/tex]
Puis par Fubini on a
[tex]
<f,g>=\displaystyle\int F(\bar{g}) F(f) dx= > F(f),F(g)>.
[/tex]
1. je n'obtient pas le [tex](2 \pi)^{-n/2}[/tex]. Que faire?
2. Autre question, pourquoi on a besoin qu'un fonction soit dans l'espace [tex]S[/tex] pour écrire sa transformée de Fourier? Je vois dans les livres que même si c'est juste [tex]L^1[/tex] ou [tex]L^2[/tex] on peut écrire sa transformée de Fourier, alors pourquoi avoir besoin de l'espace S?
Merci beaucoup.