Forum de mathématiques - Bibm@th.net

C'est bon en plus j'avais lu un cours sur le net qui m'a complétement chamboulé. C'est ok pour ma question et vraiment désoléede l'avoir mal posé, ça m'a fait passé pour une idiote.

Ah ok je n'avais pas vu qu'il y avait trois pages! C'est ok on a trouvé pareil! Juste une question, moi j'ai mis la somme sur $k \in \mathbb{Z}$. C'est correcte?

Ok, c'est reglé pour la periodicité.
Pour le calcul de $g'$, j'obtient ceci:
$$
<g',\varphi>=-<g',\varphi'>= -\sum_{k \in \mathbb{Z}} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} (x-2k\pi) \varphi'(x) dx.
$$
en appliquant l'ipp, on a
$$
\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} (x-2k\pi) \varphi'(x) dx= [(x-2k\pi)\varphi(x)]_{2k\pi}^{2(k+1)\pi}-\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx= 2 \pi \varphi(2(k+1)\pi)-\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx
$$
donc
$$
<g',\varphi>=-(2\pi) \varphi(2(k+1)\pi)+\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx
$$
mais il me semble que ce n'est pas le même résultat obtenu dans l'ancien fil. Comment savoir si mon résultat est bon? S'il vous plaît.

une fonction $ \pi$ périodique veut dire que $g(x+ 2 \pi)= g(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, avec le fait que $g(x)=x$ pour tout $x \in [0,2\pi[$ comment combiner ces deux informations pour montrer que $(g)=x-2 k \pi$ sur $[2k\pi, 2(k+1)\pi[$? S'il vous plaît

J'ai une autre question s'il vous plaît. On considère la fonction $g$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $2 \pi$ périodique telle que $g(x)=x$ pour tout $x \in [0,2 \pi[$. Je cherche à calculer $g'$ au sens des distributions. Alors on commence par remarquer que $g$ est de classe $C^1$ par morceaux, mais elle a des sauts aux points $2 k \pi$ et $2(k+1)\pi[$

Maintenant, $g$ est périodique sur $\mathbb{R}$ de periode $2 \pi$. Puisqu'elle est $L^1_{loc}$ elle définie la distribution
$$
<g,\varphi>= \sum_{k \in \mathbb{Z}} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} g(x) \varphi(x) dx.
$$
Donc
$$
<g',\varphi>=-<g,\varphi'>= - \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} g(x) \varphi'(x) dx= - \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx
$$
on calcule $ \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx$ par ipp, et on a
$$
\displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx= [x \varphi(x)]_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} -\displaystyle\int_{2k \pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx.
$$
Mais puisque $g$ est periodique alors $g(2 k \pi)= g(2(k+1)\pi)=0$ mais ça me fait bizarre d'écrire que ça implique que $[x \varphi(x)]_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \neq 0$ vu que $g$ est nulle en ces deux points. Je suis perturbée par ce point.

Moi j'ai pensé à ca: on note $a_k= \pi/2+k \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$, et on a
$$
<f,\varphi> = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} - \cos(x) \varphi(x) dx +\displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx)
$$
Donc
$$
<f',\varphi>=  \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} - \cos(x) \varphi'(x) dx +\displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi'(x) dx)
$$
et on fait une ipp sur chaque intégrale.
Vous avez une solution plus simple? S'il vous plaît.

Je n'arrive pas à voir le lien avec $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| \varphi(x) dx$. Qui joue le rôle de $a$? et qui joue le rôle de $\epsilon$? S'il vous plaît.

Alors la question est de calculer la dérivée au sens des distributions de la fonction $f(x)= |\cos(x)|$ qui est définie sur $\mathbb{R}$. Donc en premier en remarque que $f \in L^1(\mathbb{R})$, donc elle définie une distribution $T_f$, et en second on remarque que $f$ est continue sur tout $\mathbb{R}$, il n'y a pas de sauts, donc $(T_f)'= T_{f'}$.
Si on était sur l'intérvalle $]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}[$, alors il est clair que la distribution définie par $f$ est
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}[):
<T_f,\varphi>= \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{\pi/2}^{3 \pi/2} \cos(x) \varphi(x) dx
$$
Ma question est: comment utiliser le fait que $f$ soit de période $\pi$ pour définir $T_f$ sout tout $\mathbb{R}$? S'il vous plaît. Aidez moi s'il vous plaît.

Désolée ce n'est pas du tout évident pour moi, je suis complétement bloquée sur ce point. Pourquoi c'est évident s'il vous plaît? Ou bien comment appliquer la convergence dominée ici? Merci de m'aider sur point

S'il vous plaît, la distribution que définie $\log|x|$ sur $\mathbb{R}$ est pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$:
$$
<\log|x|,\varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx
$$
On écrit
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log(-x) dx + \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx
$$

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| \varphi(x) dx=0$?

OK! J'ai compris le truc. Donc on résout l'équation $v'=u$. $u$ est continue et le coefficient de $v'$ est la fonction continue $1$ donc $v$ existe. Reste à prouver que ce $v$ est bien une fonction teste. Pour ça on intègre les deux membres de l'équation, et en utilisant l'hypothèse on obtient que $v(b)-v(a)=0$ donc $v(b)=v(a)$. Mais comment est ce que $v(a)=v(b)$ implique que $v \in \mathcal{D}(I)$? S'il vous plaît.