Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour :)

Je ne vais pas faire un cours de proba, mais lorsque l’ensemble de départ ne se compose que d’éléments de deux catégories (succès/échec, ou ici rouge/blanc) et que des tirages sont effectués successivement et sans remise, alors on a affaire à une loi hypergéométrique de paramètres n (nb d’éléments tirés = 400), a (nb de succès, disons de boules rouges, au départ, = 20) et N (nb total d’éléments au départ = 1000).

J’appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de rouges obtenues sur les 400 tirées.
Alors dans cette loi, la probabilité que X soit égale à une valeur donnée k est :

p(X = k) = combin(a ; k) × combin(N-a ; n-k) / combin(N ; n)

[un exemple parallèle avec le loto :
p(bonsnum = 4) = combin(6 ; 4) × combin(43 ; 2) / combin(49 ; 6)]

Ici le problème se corse un peu quand on sait que le participant qui se cite nous informe :
« j’ai obtenu 20 boules blanches ».

Il faut donc considérer que la partie aléatoire de ce qui a été réalisé porte sur N = 980 boules dont a = 20 rouges, sur lesquelles n = 380 ont été tirées (par les 19 autres personnes).

21 événements sont possibles à l’issue des 380 tirages :
X = 0 ou X = 1 ou X = 2 ou … ou X = 20
qui pourraient constituer les 21 branches principales d’un arbre de choix probabilisé.
Dans chaque cas, une branche secondaire pourra être renseignée de la probabilité conditionnelle que la boule suivante tirée par le participant soit rouge se calculera facilement.

Par exemple :
p(X = 2) = combin(20 ; 2) × combin(960 ; 378) / combin(980 ; 380) = 0,003911
puis, sachant que X = 2, il reste18 rouges parmi 600 boules, soit une proba conditionnelle de 18/600 de tirer une rouge.
La proba que, avec les 1000 boules de départ, sur les 400 tirées, 2 rouges aient été tirées ET que le participant tire une rouge ensuite est : 18/600×0,003911 = 0,000117334.

Des calculs sur Tableur, pour toutes valeurs possibles de X, permettent d’obtenir systématiquement ces résultats.
La somme des probabilités des intersections (X=k ET suivante = rouge) est la probabilité (suivante = rouge) cherchée dans la question du premier message et elle vaut :

environ 0,020408163265 (assez amusant, ce nombre, d’ailleurs)

Cdt,
JFF