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#26 Re : Café mathématique » Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois. » 01-07-2018 14:12:04
https://www.cjoint.com/c/HGbk0UbqIQ2
Salut
Merci tout d'abord d'avoir reconnu que les listes de nombres que j'ai proposées sont dénombrables.
Je crois que le problème qui se pose est assez simple:
1- est-ce que mon système de construction des nombres à écriture décimale de [0,1[ construit tous ces nombres à l'infini?
Ma réponse est oui. On est jamais si bien servi que par soi-même.
Bien sûr les nombres que j'écris, eux, ne sont pas écrits avec une infinité de décimales, qui le peut ? mais par construction nous pouvons théoriquement les écrire à l'infini. Le refuser c'est me semble t'il refuser beaucoup des travaux des mathématiciens sur cet infini.
2- L'écriture décimale de tous les nombres représente t'elle les réels ? C'est là vraiment le nœud du problème.
Si oui, alors le problème est réglé: oui R est dénombrable.
pour le oui:
a- certaines définitions du genre: nb réel, nb dont l'écriture décimale est finie, non finie et périodique ou non périodique,
ou un nb réel est non seulement un nb rationnel, mais peut aussi être un nb dont le développement décimal est infini et non périodique.
b- l’écriture de nombres réels infinis par des mathématiciens écrits à l'aide de points de suspension, même si ces suites sont parfois écrites sous la forme abstraite {m1, m2, ...et non avec des chiffres comme l'a fait d'après mes sources Cantor pour le tableau à l'origine de sa diagonale.
pour le peut-être:
Certaines définitions de R moins précises sur l'écriture, tel: un nb réel est un nb soit rationnel soit irrationnel.
Si c'est oui plus de problème R est dénombrable.
Si c'est non, à ma liste je peux ajouter les nombres rationnels et les nombres algébriques que Cantor a démontré dénombrables.
restent les transcendants. Là encore:
pour le peut-être: les nb transcendants sont des nb irrationnels qui ne sont pas algébriques.
pour le oui: les transcendants s'écrivent sous la forme de décimales infinies et non répétitives.
Les questions sont donc:
L'écriture avec points de suspension à la fin est-elle reconnue comme exprimant une construction à l'infini ?
Est-ce que tous les nb écrits sous la forme d'une écriture décimale finie ou infinie, périodique ou non représentent bien R ?
Bon weekend à tous.
#27 Re : Café mathématique » Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois. » 26-06-2018 14:14:45
Bonjour à tous
Je ne sais si j'ai réussi à faire parvenir ces deux dossiers, je me permets donc de répéter peut-être ces 2 adresses.
J'espère vous intéresser avec ce qui suit.
Bonne journée
https://cjoint.com/c/HFvnb7kk2kG nombres réels dénombrables
https://www.cjoint.com/c/HFAmWvX5ojX la diagonale de Cantor
#28 Re : Café mathématique » Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois. » 21-06-2018 14:05:38
#29 Re : Café mathématique » Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois. » 14-06-2018 18:39:25
Tout à fait d'accord avec ta réponse, mais ayant classé les éléments de R par leur nombre de décimales la suite n'est pas classique, les infinis se retrouvent tous à ..; l'infini. les nombres qui suivent les nombres entre 0,1 et 0,9 se retrouvent au sous-groupe 2, celui des nombres à 2 décimales, puis les nombres qui suivent les nombres entre 0,01 et 0,99 se retrouvent dans le sous-groupe 3, et ainsi de suite.
remarque: Les sous-groupes peuvent aussi être mis aussi en bijection avec N.
Ce procédé d'écriture repousse les nombres qui sont entre 0,001 ET 0,999 au quatrième rang et au suivants.
Les nombres à écriture décimale cyclique se trouve donc dans le sous-groupe infini (1/7, 3/11 ), puisque leur écriture est infinie, de même ceux qui ne sont pas cycliques, comme pi et les autres transcendants. Oui, comme pour tous les infinis, il faut imaginer ce dernier sous-groupe. Ce sous-groupe contient tous les nombres infinis de N si on ne regarde que les décimales, ordonnés comme dans N, et en bijection avec eux. Ceci est plus facile avec la deuxième suite proposée pour comprendre le rang, ( bien qu'inexprimable puisqu'il faudrait écrire des nombres à l'infini). Avec les nombres en miroir l'écriture est toujours théoriquement possible, mais les derniers (?) nombres commenceraient (?) par 9, dernier chiffre possible avant de passer au nombre suivant, qui ici ne devrait pas exister si je suis à l'infini.
Nous sommes ici avec l'infiniment petit, celui qui se répète infiniment entre chaque nombre même avec de nombreuses décimales. Ces infiniment petits se retrouvent repoussés avec mon écriture dans le sous-groupe infini, en bijection avec les naturels d'écriture infinie, ordonnés, c'est ce qui me permet de dénombrer R, , je peux toujours placer un nombre entre deux autres, ce nombre est écrit dans les sous-groupes suivants. ( la démonstration de Cantor sur l'indénombrabilité de R semble ainsi être court-circuitée.)
la lecture de BD ne me dérange pas du tout, j'ai été content en voulant vérifier l'écriture de R seul point sensible de ma démonstration je pense, en voyant une petite série de cours présentant comment démontrer l'égalité entre des infinis différents points sur ligne, ligne sur surface ..., répondant à d'autres de mes questions.... Je vais regarder dès que possible, j'espère que mon âge ne m'interdit rien qui soit différent de mes capacités physiques.
J'espère avoir réussi à me faire comprendre. Merci beaucoup et amitiés.
#30 Re : Café mathématique » Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois. » 14-06-2018 15:05:00
Bonjour, et merci pour votre attention
Oui, n'étant pas mathématicien, j'invente mon propre vocabulaire parfois, mais je vérifie ensuite si les termes employés n'existent pas avec un autres sens.
décimales actives, ce sont celles qui sont indispensables pour écrire un nombre, seul 0 est en réalité concerné, par exemple 008 0 n'est pas utile, dans 0,76000 les trois zéros à la fin ne sont pas actifs parce que non utiles, alors que dans 0,00076 les trois zéros le sont.
Pourquoi cette nuance: pour ne pas avoir de remarques dans ma troisième façon de construire [0,1[ à partir de N.
Je tiens à la disposition de qui veut mon travail complet, mais je ne sais comment le joindre à ces échanges.
je vais essayer de le résumer en vous présentant les suites possibles, le rang des nombres dans R est mis en relation avec les nombres de N dans leur ordre naturel.
première: classement des R par le nombre de décimales, 2 décimales "actives" commençant par 0,01 et finissant par 0,99
N R
0 0
1 0,1
...... .......
9 0,9
10 0,01
11 0, 02
..... ..........
deuxième, construction des R à partir des N dans leur ordre naturel, les 0 finissant les N passant devant les autres chiffres des décimales des R, juste après le virgule, pour prendre du sens.
N R
0 0
...... ........
10 0,01
11 0,11
....... .......
100 0,001
101 0,101
........ .........;
troisième, l'écriture en "miroir"
N R
0 0
..... ........
10 0,01
11 0,11
12 0,21
13 0,31
.......... .........
J'espère m'être fait comprendre, que tous les N ont une image et une seule dans [0,1[, et que tous les R ont une image et une seule dans N pour chacune des suites.
Merci de votre attention, espérant avoir bientôt de vos remarques.