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Oui, mais pourquoi ça serait parfait si toute fonction teste était la dérivée d'une autre fonction teste? En quoi cela aurait pu nous aider à conclure directement l'existence de $S$?

Bonjour,
j'essaye de montrer que sur tout intervalle $I$ de $\mathbb{R}$,toute distribution sur $I$ admet une primitive.

En lisant la preuve du feuillet d'exo sur bibmaths, on lis ceci: si $T \in \mathcal{D}'(I)$ et $S$ une éventuelle primitive de $S$, on a
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(I): <T,\varphi>= <S',\varphi>= - <S,\varphi>.
$$
Si toute fonction teste était la dérivée d'une fonction teste, alors ce serait parfait. Je veux comprendre pourquoi ça serait parfait?
Moi je comprend que ça serait parfait car, si toute fonction teste était la primitive d'une fonction teste, cela voudrait dire que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(I)$, il existe $\psi \in \mathcal{D}(I)$ telle que $\varphi= \psi'$. Donc on écrit
$$
<T,\varphi>= <T,\psi'>= - <T',\psi>.
$$
Le problème est: est ce qu'on a le droit d'écrire l'égalité $<T,\psi'>= - <T',\psi>$ sans savoir si $T'$ existe? S'il vous plaît.

C'est bien compris! Ainsi on obtient $|\varphi(\epsilon)-\varphi(-\epsilon)| \leq C \epsilon$ qui tend vers 0. Merci beaucoup

Bonjour,
s'il vous plaît, pour finir ce topic, si on calcule $f''$ en utilisant l'ipp, on trouve ceci:
$<f'',\varphi>=\sum_{k \in \mathbb{Z}}(-2 \sin(a_{2k+1}).\varphi(a_{2k+1})+ \sin(a_{2k}).\varphi (a_{2k}) + \sin(a_{2k+2}).\varphi (a_{2k+2})+\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx
$
La question est comment regrouper les termes pour avoir le bon résultat?
Merci par avance pour votre aide.

Mais pourquoi je n'obtient pas la même chose si je calcul en utilisant la définition?
On a
$$
<f',\varphi>=\sum_{k \in \mathbb{Z}} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x) \varphi(x) dx)
$$
donc
$$
<f'',\varphi>=-<f',\varphi'>= - \sum_{k \in \mathbb{Z}} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x) \varphi'(x) dx)
$$
puis par ipp on trouve que
$$
\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi'(x) dx = \sin(a_{2k+1}) \varphi (a_{2k+1}) - \sin(a_{2k}) \varphi(a_{2k}) - \displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx.
$$
et on fait pareil pour l'autre intégrale, on retrouve le résultat du post 38.
Pourquoi on ne trouve pas les Dirac en les points de discontinuités $a_k$? Où est le problème? S'il vous plaît.

aviateur: on cherche les dérivées dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$, ce n'est donc pas pareil que dans $\mathbb{R}$ s'il y a des discontinuités.
Sinon merci de m'aider pour ma dernière question du post #38 s'il vous plaît.

$K \cap \alpha \Z \subset K$, donc $K$ est infini, et d'un autre côté, les points de discontinuité ne sont pas d'accumulation. Et le théorème de Bolzano dit que toute partie infini et borné admet un point d'accumulation. Donc $K$ n'est pas borné.
Si ce n'est pas ça alors pouvez vous me donner les grandes lignes de la preuve, je ne trouve pas de support pour m'inspirer et ma tête est vide

euh Terminator897, ce n'est pas dutout ce que tu crois, aucune relation. Sinon, merci pour la réponse.

1. Non je viens d'y passer des heures et ça me dépasse. J'ai fait ce genre de preuves il y a longtemps et maintenant je ne m'en souviens plus et je ne trouve pas de support pour voir la façon de faire. Une méthode logique et simple? S'il vous plaît
2. Pourquoi est-ce que le fait que les discontinuités soient de la forme $1/n$ implique que leur nombre n'est pas fini? S'il vous plaît.

J'ai bien compris pourquoi la série converge. Les points de discontinuité ne sont pas des points d'accumulations. Aucun voisinage de $a_k$ ne contient un nombre infini de points de discontinuité, par conséquent aucun compact ne peut en contenir et donc il y a convergence sure de la série.
Alors je m'excuse pour ma lenteur à comprendre ce point, mais j'ai encore une question:
1. En fait c'est le prof qui nous a dit qu'il peut y avoir un problème de convergence de la série si par exemple les sauts tendent vers 0 comme c'est le cas par exemple de 1/n, et que $\varphi=1$ au voisinage de 0.
Ma question est: ce cas veut dire que le support de $\varphi$ contient un nombre infini de discontinuité? Je ne comprend plus. Le cas du prof dit: si les discontinuités tendent vers0 et que $\varphi=1$ au voisinage de 0: ce cas est équivalent à dire qu'il y a un nombre infinie de discontinuité dans le support? Car vous avez toute de suite fait le lien avec ça, et pas moi.

2.Pourquoi est-ce que les sauts tendent vers 0? Ils sont de la forme $a_k=\pi/2+k \pi$

3. Vous dites qu'il n'y a pas un compact $K$ qui contient un nombre infini de discontinuité. Comment vous le démontré s'il vous plaît.
Merci par avance pour votre aide.

Bonjour Yassine
Comment est-ce que la périodicité des sauts implique la convergence de la série? S'il vous plaît.