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#1 Re : Entraide (supérieur) » Valeur propre » 17-10-2015 16:23:12
Par définition d'un vecteur propre, on a :
[tex]f(v_1)=-\frac{1}{2}v_1[/tex] et [tex]f(v_2)=\frac{1}{2}v_2[/tex]
Que vaut [tex]f(v_1+v_2)[/tex] sachant que [tex]f[/tex] est une application linéaire ?
#2 Re : Entraide (supérieur) » Espace vectoriel munis de deux normes » 17-10-2015 00:12:44
Pour que toute suite convergeant vers [tex]0[/tex] dans [tex](E, N_1)[/tex] soit convergente vers [tex]0[/tex] dans [tex](E, N_2)[/tex], il faut et il suffit qu'il existe un nombre réel [tex]\beta > 0[/tex] tel que [tex]N_2 \leq \beta N_1[/tex].
La condition nécessaire est triviale et la condition suffisante se montre par l'absurde :
S'il n'existait pas de réel [tex]\beta > 0[/tex] tel que [tex]N_2 \leq \beta N_1[/tex], le rapport [tex]\frac{N_2}{N_1}[/tex] serait non majoré sur [tex]E \backslash \{0_E\}[/tex]. Cela veut dire que pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], on pourrait donc trouver [tex]u_n \in E \backslash \{0_E\}[/tex] tel que [tex]\frac{N_2(u_n)}{N_1(u_n)} \geq n[/tex], ce qui s'écrit [tex]N_2(\frac{u_n}{n N_1(u_n)}) \geq 1[/tex].
La suite de terme général [tex]v_n=\frac{u_n}{n N_1(u_n)} [/tex] ne converge pas vers [tex]0[/tex] dans [tex](E, N_2)[/tex] car [tex]N_2(v_n) \geq 1[/tex] pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] et elle converge vers [tex]0[/tex] dans [tex](E, N_1)[/tex] car [tex]N_1(v_n)=\frac{1}{n}[/tex].
C'est contraire à l'hypothèse de départ, l'existence de [tex]\beta[/tex] en résulte.
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