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#1 Re : Entraide (supérieur) » Problème microéconomie » 17-02-2014 21:01:31
Oui c'est bon j'ai réussi, merci beaucoup!!!
Par contre j'ai pas fait comme toi pour finir:
Connaissant x2, je le remplace dans l'expression de la contrainte budgétaire: [tex]R=p1x1+p2x2[/tex]
j'en déduis: [tex]x1 = \frac{R-p1+\frac{bp2}{a}}{p1}[/tex]
Connaissant x1* et x2* j'en déduis V(p1,p2,R). Or comme je connais [tex]{\frac{\partial V}{\partial R}}[/tex], en dérivant l'expression de la fonction d'utilité indirecte que j'ai trouvée, je trouve a = b = 1 Donc j'ai U(x1;x2) et je peux finir après .
#2 Re : Entraide (supérieur) » Problème microéconomie » 17-02-2014 19:04:51
Ok je crois que je commence à voir là ou tu veux en venir, je vais essayer de bien attaquer, faudrait que j'arrive à le plier ce soir cet exo.
On a une idée de la forme de la fonction d'utilité indirecte (cf. post plus haut)
On sait qu'à l'équilibre: [tex] f'(x2) = Um(x2) = \frac{p2}{p1} [/tex]
Or [tex]V(p1,p2,R) = U(x1*;x2*) = x1* + f(x2*)[/tex]
En comparant cette fonction d'utilité indirecte avec la forme de celle trouvée précédemment, on se doute que f(x) sera de la forme ln(ax+b) (C'est le point ou je diffère un peu de ton raisonnement, parce qu'avec les solutions que j'ai trouvées, ma fonction d'utilité est plus de la forme ln(ax+b), car si b=0 on a problème d'utilité marginale en 0 et je pense que les hypothèses des préférences monotones croissantes imposent un + devant le ln non?)
Du coup, [tex]V(p1,p2,R) = x1* + ln(ax2* + b)[/tex] (où xi* = xi(R,p1,p2))
Or [tex] f'(x2) = \frac{p2}{p1} [/tex] d'après la condition d'équilibre que tu m'as faite trouver plus haut. on en déduit:
[tex] \frac{a}{ax2+b} = \frac{p2}{p1}[/tex] et donc [tex]x2^*= \frac{p1}{p2} - \frac{b}{a}[/tex]
C'est ce que t'avais en tête?
#3 Re : Entraide (supérieur) » Problème microéconomie » 17-02-2014 09:38:08
Re,
En faisant le programme je trouve bien [tex]f'(x2)= \frac{p2}{p1}[/tex] (rapport des utilités marginales = rapport des prix), or f'(x2) représente l'utilité marginale du bien 2.
C'est à dire le gain d'utilité résultant de la consommation d'une unité supplémentaire. Or comme les préférences sont quasi linéaires, l'utilité marginale du bien 1 est constante est égale à 1.
On en déduit que tant que [tex] \frac{Um(x2)}{p2}>\frac{1}{p1}[/tex] le consommateur préfèrera consommer du bien 2, jusqu'à ce qu'il y ait égalité entre les 2 termes, ensuite chaque fraction de revenu supplémentaire sera affectée à la consommation du bien 1. A l'équilibre on aura donc l'égalité [tex]Um(x2)=\frac{p2}{p1}[/tex].
Mais je vois pas comment en déduire la forme de f... Car j'ai juste une expression sur f' à l'équilibre, et donc avec les prix, ce que je ne peux pas utiliser pour la fonction d'utilité.
Ah mais par contre pour la fonction d'utilité indirecte c'est intéressant, j'essaie!
#4 Re : Entraide (supérieur) » Problème microéconomie » 16-02-2014 12:40:08
Je reviens ...
je t'attends!
#5 Re : Entraide (supérieur) » Problème microéconomie » 15-02-2014 19:57:13
On sait que:
- La dérivée de la fonction d'utilité indirecte par rapport à p2 est: [tex] \frac{p2-p1}{p2p1}[/tex]
- L'élasticité revenu du bien 2 est nulle
On en déduit:
- V(p1,p2,R) = [tex] \frac{p2}{p1}[/tex] - ln(p2) + K(p1,R) (où V(.) est la fonction d'utilité indirecte)
-[tex] \frac{\partial x2}{\partial R}.\frac{R}{x2}[/tex] = 0 donc [tex] \frac{\partial x2}{\partial R}[/tex] = 0 car R différent de 0
De plus:
- Avec la relation de Slutsky: [tex] \frac{\partial x2}{\partial p1}[/tex] = [tex] \frac{\partial h2}{\partial p1}[/tex]
On en déduit que x2* = h2* et donc que x2* = x2 (p1,p2) et h2*= h2 (p1,p2)
- Le fait que x2* ne dépende pas de R --> Les préférences sont quasi linéaires, et la fonction d'utilité peut s'écrire U = f(x1) + g(x2)
- Avec l'identité de Roy: x2 = [tex] \frac{\frac{\partial V}{\partial p2}}{\frac{\partial V}{\partial R}}[/tex]
On peut en déduire soit: x2(.)*[tex]{\frac{\partial V}{\partial R}}[/tex] = = [tex] \frac{p2-p1}{p2p1}[/tex]
soit: la dérivée seconde de V par rapport est nulle (en dérivant des 2 côtés de l'identité de Roy)
A quelques trafics prêt, voilà ou j'en suis. Après j'ai juste écrit chacune de ces relations différemment mais ça m'a rien apporté
Dans ce que je devrai (je pense) utiliser mais que j'ai pas encore réussi à caser:
- Lemme de Schepard
- relation inverse entre fonction de dépense et fonction d'utilité indirecte
- Lien entre demandes marshaliennes et hicksiennes
En attendant ton "décoinçage"... merci!
#6 Re : Entraide (supérieur) » Problème microéconomie » 15-02-2014 13:14:17
Honnêtement, j'ai l'impression d'avoir plusieurs "morceaux" mais j'arrive pas à pas à faire le lien entre eux pour les utiliser. Je vois pas par ou commencer.
Le seul truc que j'arrive à combiner, c'est le fait que l'élasticité revenu du bien 2 soit nulle. Ainsi en dérivant l'identité de Roy et en l'annulant, je peut obtenir une forme plus précises de la fonction d'utilité indirecte (il me reste juste une constante qui dépend de p1, plus de P1 et R).
Après je me suis fait une fiche à partir de toutes les relations entre programme primat et dual, comment passer des fonctions de demandes marshaliennes à hicksiennes, avec l'utilité indirecte, la fonction de dépense et ainsi de suite mais je n'arrive pas à l'utiliser vu qu'il faut que je connaisse au moins une de ces fonctions.
Je veux bien que tu m'aides à démarrer, après ça devrait s'enchaîner pas trop mal.
merci
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