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Voilà l'énoncé j'ai fait tout l'exercice, je vous juste que l'on me corrige.
Soit S = SR le R-espace vectoriel de toutes les suites réelles.
1. Pour deux suites U = (Un)n∈N et V = (Vn)n∈N et pour T ∈ R, rappeler la définition des suites U + V et TU.
2. Soit L l'ensemble des suites réelles (Un)n∈N qui sont convergentes. Montrer que L est un s-ev de S.
3. Soit L0 l'ensemble des suites de limite 0. Montrer que L0 est un s-ev de L.

Ce que j'ai fait:

1.  U = (Un)n∈N et V = (Vn)n∈N donc U + V = (Un + Vn)n∈N
    Tn = (T*Un)n∈N

2. L s-ev de S ?
Par définition , L ∈ S.
L différent de l'ensemble vide, (0n)n∈N ∈ L car 0 est sa limite.
Pour tout U, V ∈ L  y∈ R montrons que U + yV ∈ L.
U + yV = (Un + yVn)n∈N.
Par linéarité de la lmite:
Un tend vers l
U ∈ L                 implique      (Un + yVn) tend vers(l + yl') ∈ R.
Vn tend vers l'
V∈ L
D'ou U + yV converge vers l + l' ainsi U + yV ∈ R.
Donc L est un s-ev de S.

3. L0 s-ev de L ?
L0 ∈ L (par définition).
L0 différent de l'ensemble vide car (0n)n∈N est convergente et sa limite vaut 0.
Pour tout U, V ∈ L0  y∈ R montrons que U + yV ∈ L0.
U + yV ∈ L est stable par combinaison linéaire.
Un tend vers 0
U ∈ L0              implique (Un + yVn) tend vers 0 ∈ L0.
Vn tend vers 0
V∈ L0
Donc L0 est s-ev de L.

Merci d'avance pour votre aide.