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Bonjour

j'ai un exercice qui se répété dans les examen ou j'ai arrivé pas y répondre carje suis en AES c'est  difficile  de résoudre ce type d'exo  , j'ai vraiment  besoin de votre aide 
voila l'énoncé

Un individu a une  fonction d'utilité définie comme suit :   [tex]U(C_1,C_2)  = ln(C_1)+\frac{1}{1+b} ln(C_2)[/tex]

On note Y le revenu réel de la période 1. Le bien disponible en période 1 peut être consommé ou investi dans du capital productif, permettant d'obtenir une quantité [tex]K^\alpha[/tex] en période 2 pour un montant K investi en période 1. On suppose que b est strictement supérieur à -1 et que a  est strictement compris entre 0 et 1.

1) Que signifie l'hypothèse sur [tex]\alpha[/tex] ? Comment s'écrit la contrainte budgétaire de Robinson ?
pour cette question c'est ok mais les 2 dernières question j'ai un blocage totale

2) l'individu investie  [tex]\hat{K} [/tex] = [tex]\frac{1}{1+b+\alpha} Y[/tex]  et consomme [tex]\hat{C} = \frac{1+b}{1+b+\alpha } Y[/tex]
donner l'expression de la productivité marginale du capital et calculer sa valeur
La productivité marginale du capital : est la quantité de production additionnelle générée par l’emploi d’une unité supplémentaire de capital (un euro de capital, ou une machine)
mais j'arrive pas a déterminer sa valeur

3) Robinson peut prêter ou emprunter une somme quelconque moyennant le paiement d'un taux d'intérêt réel donné r.

Montrez que son épargne optimale et son investissement optimal valent respectivement
[tex]\hat{S}= \frac{Y+\hat{K}}{2+b} - \frac{1+b}{2+b} \frac{\hat{K}}{1+r}[/tex]  et [tex]\hat{K} = (\frac{\alpha}{1+r})^\frac{1}{1+\alpha}[/tex]

j’espère avoir de l'aide de votre part

Merci beaucoup

Bonsoir

j'espère que vous allez bien :)

J'ai recuperé quelques annales dont je me bloque , je vais vous présenter les énonces et mes tentatives 
je suis en AES je suis déja redoublant , et cette fois ci c'est ma dernière chance , j'espere trouver quelqu'un qui puisse m'aider , S'il vous plait
je vais exposer ici le 1er exo et dans un autre post les autres exercices pour respecter les règles

      exercice

1) Un individu vivant deux périodes a une  fonction d'utilité qui se pressente comme suit : 

[tex]U(C_1 , C_2)[/tex] =[tex] ln(C_1)[/tex] + [tex]\frac{1}{1+b} ln(C_2)[/tex]

Avec :

Y le revenu réel de la période 1,

[tex]\alpha[/tex]:  le taux de croissance du revenu réel entre les deux périodes,On suppose que b est strictement supérieur à -1
r  le taux d'intérêt réel et
W  la richesse.

1) Écrire la richesse en fonction de Y et de [tex]\alpha[/tex]

2) Commentez la forme de la fonction d'utilité. Comment interpréter le paramètre b ?

3) Calculez le TMS de la consommation future à la consommation présente

4) calculer  les consommations optimales , Combien vaut le TMS de la consommation future à la consommation présente à l'optimum
?
5) A quelles conditions la consommation optimale est-elle constante, croissante ou décroissante dans le temps?

6) A quelle condition l'individu est-il prêteur ?

7) Quel montant épargne-t-il (et offre-t-il sur le marché des fonds prêtables) ?

2)
On suppose que deux individus i et j , vivant deux périodes, se comportent comme l'individu décrit dans l'exercice précédent. On note [tex]b_n[/tex] le taux de préférence pour le présent de l'individu n , Y_n son revenu réel de la période 1, [tex]\alpha[/tex]_ n le taux de croissance du revenu réel entre les deux périodes, [tex]W_n[/tex] sa richesse, et r le taux d'intérêt réel

On définit : [tex]A_n[/tex]≡1 + [tex]\alpha[/tex]_n;[tex]B_n≡1 +b_n[/tex] ;R≡ 1 + r

8) Déterminez le taux d'intérêt d'équilibre du marché des fonds prêtables. Ensuite, étudiez le cas où les revenus des individus sont égaux ([tex]Y_n[/tex]=Y) et constants ([tex]\alpha[/tex]_n = 0), mettez en évidence le lien entre taux d'intérêt d'équilibre et préférence pour le présent. Puis étudiez le cas où les individus ont les mêmes préférences ( [tex]b_1[/tex]=b ), et mettez en évidence le lien entre taux d'intérêt et croissance des revenus.

Mes tentatives

1)  la richesse en fonction de Y et de [tex]\alpha[/tex] :

W= [tex]( Y_0(1+r)+ Y_1)[/tex](1+[tex]\alpha[/tex])

2) le paramètre b est le taux d'impatience du consommateur

3) la TMS= (1+r)/(1+[tex]\alpha[/tex])

4) les consommations optimales :  [tex]C_0=  \frac{1+b}{2+b}W [/tex]   [tex]C_1= \frac{1}{2+b}W[/tex]
pour  le TMS sera egale  1

je me bloque dans les questions  5 et 6

7) l'epargne est egal a   S= \frac{(1+r)-(1+[tex]\alpha[/tex])(1+b)}{(1+r)(1+(1+b))}Y_1

2)

8) aussi ici je me bloque

je me bloque au niveau des questions 5 , 6 et 8

toutes vos aides seront très précieuses , Merci beaucoup pour votre aide