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Bonjour,
Soit [tex]\Omega[/tex] un ouvert borné, connexe et régulier, et soit [tex]f \in L^2(\Omega)[/tex]. On considère le problème variationnel:
trouver [tex]u \in H^1(\Omega)[/tex] telle que
[tex]\int_{\Omega} A \nabla u \cdot \nabla v dx + (\int_{\Omega} u dx)(\int_{\Omega} v dx)=\int_{\Omega} f v dx, \forall v \in H^1(\Omega)[/tex]
avec les hypothèses sur [tex]A:[/tex]
[tex]\exists \alpha > 0, A(x) \xi \xi \geq \alpha |\xi|^2, \forall \xi \in \mathbb{R}^n[/tex], et [tex]\exists \beta > 0, |A(x) \xi| \leq \beta |\xi|, \forall \xi \in \mathbb{R}^n[/tex]

ma question est: on pose [tex]a(u,v)=  \int_{\Omega} A \nabla u \cdot \nabla v dx + (\int_{\Omega} u dx)(\int_{\Omega} v dx) [/tex]
j'ai essayé de montrer la coercivité de [tex]a[/tex] par l'absurde, c'est à dire en supposant que [tex]\forall \nu > 0, \forall v \in H^1(\Omega), a(v,v) a(v,v) > \nu ||v||_{H^1}[/tex] pour[tex] \nu = \dfrac{1}{n}[/tex] , et par la bilinéarité de [tex]a,[/tex] on peut dire que [tex]||v||_1=1[/tex] on a alors par l'absurde que
[tex]\int_{\Omega} A \nabla v_n \cdot \nabla v_n dx + (\int v_n)^2 > \dfrac{1}{n}[/tex]
Quelle est la limite [tex]\lim_n \int_{\Omega} A \nabla v_n \cdot \nabla v_n dx[/tex]? quand [tex]n[/tex] tend vers + l'infini?