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Bonjour a Vous

j'ai trouvé des exercices  j'ai essayé d'y repondre  ,mais je me bloque au niveau de quelques questions , je vais vous présenter  les exercices ainsi que mon travail , Merci bien pour votre aide
exercice 1 :

une fonction d'utilité est donnée par : u(K₁, k₂ ) AVEC k 1 et K2 les consommations pour les 2 periodes

Sa contrainte budgtaire est donnée par M= K₁ + k₂(1+i)^-1    ou i le taux d’intérêt

1) calculer le TMS

2) prouver que [tex]  \frac { \partial K_2 }{ \partial i }  \succcurlyeq 0[/tex] mais que le signe de  [tex] \frac{ \partial K_2 }{ \partial i }[/tex]  est ambigu

3) si [tex] \frac{ \partial K_2 }{ \partial i }   <0[/tex] que peut on dire sur l'elasticité- prix de la demande de K₂ ?

4 comment l'analyse du probléme peut etre affectée si l'individu reçoit un revenu à chaque periode ( R₁, R₂) de sorte que sa contrainte budgetaire devient
[tex]R_1 - K_1+   \frac { R_2 + K_2 }{1+ i }[/tex]=0

Mon travail:

1) M signifie la somme d'argent détenu par l'agent  autrement dit   M= R₁ + R₂ /(1+i)
pour le TMS : j'ai trouver ce dernier égale a 1+i

2) on sait que d’après la contrainte budgétaire que :  [tex] K_1 +  \frac {K_2 }{1+ i }= R_1 +  \frac { R_2}{1+ i }[/tex]
Pour K₂ j'ai trouvé que

[tex] k_2= R_1(1+i) + R_2- k_1(1+i)[/tex]

donc [tex]\frac { \partial K_2 }{ \partial i } = R_1 - K_1 \succcurlyeq 0[/tex]

Pour K₁ j'ai trouver que :
[tex]K_1= R_1 +\frac { R_2 }{1+ i } - \frac { K_2 }{1+ i }[/tex]
donc[tex] \frac { \partial K_1 }{ \partial i }= -  \frac { R_2 }{ (1+ i)² } + \frac {  K_2 }{ (1+ i)² }[/tex]

le signe de  [tex]\frac { \partial K_1 }{ \partial i }[/tex] est ambigu donc Si [tex]k_2 <  R_2[/tex] il est épargnant , Si [tex]k_2 >  R_2[/tex] il est emprunteur , Si [tex] k_2 =  R_2[/tex] il est ni épargnant ni emprunteur

3) Si [tex]\frac { \partial K_1 }{ \partial i }< 0[/tex] alors élasticité de la demande prix pour K₂  est negative mais je sais pas comment prouver cela

4 l'analyse ne va pas changer, puisqu'on a changé juste l’écriture (valeur presente , valeur futur) 

J'ai un grand doute  au niveau des 2 dernières questions

Exercice 2

I- On considère un ménage représentatif ayant la fonction d’utilité
suivante
  [tex]U= C_1^{0,5} +\frac { 1}{ 1+\rho } C_2^{0,5}[/tex]
où C1 et C2 sont les consommations respectives des périodes (1) et (2).
Ses ressources de la première période se composent d’un revenu 1 y et d’une richesse initiale  a₀ , son revenu de la deuxième période s’élève à  y₂ .
1- Interpréter ρ.
2- Déterminer sa contrainte budgétaire intertemporelle dans le cas où sa richesse détenue à la fin de la deuxième période serait nulle.
3- Déterminer son plan de consommation optimal. En déduire sa fonction d’épargne

solution

1 (ρ) représente le taux de préférence pour le présent

2) La contrainte budgétaire est [tex] C_1 +  \frac {C_2 }{1+ i }= Y_1 +  \frac { Y_2}{1+ i } + a_0[/tex]

3)
   max  [tex]U= C_1^{0,5} +\frac { 1}{ 1+\rho } C_2^{0,5}[/tex]

S.C  [tex] C_1(1+r) +C_2= (Y_1+a_0)(1+r) +y_2[/tex]
Formulons le lagrangien :
[tex] L({C_1,C_2} ,\lambda)= C_1^{0,5} +\frac { 1}{ 1+\rho} C_2^{0,5}- \lambda ( { C_1(1+r) +C_2- ((Y_1+a_0)(1+r) +y_2}))[/tex]

les dérivées partielle donnent :

   [tex] \frac { 1}{ 2\sqrt C_1}= \lambda(1+r)[/tex]

   [tex] \frac {\frac { 1}{ 1+\rho}}{ 2\sqrt C_2} = \lambda[/tex]

   [tex] C_1(1+r) +C_2= (Y_1+a_0)(1+r) +y_2[/tex]

ALORS  [tex] \frac {\sqrt C_2}{\sqrt C_1} = \frac { 1}{ 1+\rho }(1+r)[/tex]

[tex] C_1(1+r) +C_2= (Y_1+a_0)(1+r) +y_2[/tex]    , j'ai pris [tex](Y_1+a_0)[/tex] comme etant le revenu total de l'individu dans la 1ére période (pour simplifier les calculs )

en remplaçant on trouve que  [tex]C_2= C_1 ( \frac { 1}{ 1+\rho })^²(1+r)^²[/tex]

est ce que je suis dans le bon sens pour cette question d'exercice  2 je continu comme ça ?

Merci infiniment pour votre aide

Claud