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#1 Re : Entraide (collège-lycée) » Injection de R sur N » 30-04-2023 12:56:17
[tex][/tex]Bonjour Giozi,
effectivement, je m'en veux de ne pas l'avoir vu! L'image de 1/3 par cette "fonction" n'est pas un entier puisque plus grand que n'importe quel entier arbitrairement choisi!
Merci et bon dimanche,
Jean
#2 Entraide (collège-lycée) » Injection de R sur N » 29-04-2023 22:33:10
- JeanMars
- Réponses : 2
Bonjour,
dans la suite logique de ce thread sur la Dénombrabilité de Q, sur le fait que l'on peut trouver une injection de [tex]\mathbb{Q}[/tex] dans [tex]\mathbb{N}[/tex], j'allais proposer à mon fils de lui montrer que l'on ne peut pas faire de même pour [tex]\mathbb{R}[/tex] et [tex]\mathbb{N}[/tex]...
Mais il m'a alors exhibé la fonction construite de la façon suivante:
- On associe au développement décimal d'un réel un entier utilisant uniquement les chiffres, 0,1,2,8 et 9
- On procède ainsi:
- Si le réel est négatif, on commence le nombre entier par 2 (on ignorera par la suite de considérer les réels négatifs, ils ne posent pas de problème particulier),
- On remplace la virgule par le chiffre 0
- On remplace le chiffre 0 par le chiffre 1
- Pour un chiffre entre 1 et 9, on écrit simplement le nombre de fois le chiffre 8 ou 9 (et on alterne)
Exemples:
1,0 --> 901
10 --> 91
1 --> 9
-1 --> 29
1,1 --> 908
1,2 --> 9088
1,23 --> 9088999
0,33333... (=[tex]\frac{1}{3}[/tex]) --> 10999888999888...999888.......
Et j'en cherché sans succès à trouver 2 réels qui donnent le même entier. Pourtant ça doit bien exister !!!
Et comment expliquer ça à mon fils (il a 13 ans, mollo sur les explications trop compliquées quand même :-))
Merci,
Jean
#3 Re : Entraide (collège-lycée) » Dénombrabilité de l'ensemble des rationnels » 25-02-2023 14:48:32
Bonjour,
merci pour tous ces détails :-) Ca me fait plaisir de me replonger un peu dans ces notions.
#4 Re : Entraide (collège-lycée) » Dénombrabilité de l'ensemble des rationnels » 24-02-2023 23:32:09
Bonsoir de nouveau,
merci pour vos remarques, mon fils a apprécié :-)
Pour les rationnels négatifs, j'avais limité moi-même aux positifs uniquement dans un souci de simplification, mais il avait également pensé à se servir du '3' pour étendre cette relation aux rationnels négatifs.
Pour ma proposition sur le fait que toute partie infinie de [tex]\mathbb{N}[/tex] est en bijection avec [tex]\mathbb{N}[/tex], c'est vrai que je suis allé un peu vite. Pour définir une bijection de [tex]\mathbb{N}[/tex] sur [tex]\mathbb{Q}[/tex] (ou l'inverse), à part l'énumération diagonale, il y a autre chose (de relativement simple quand même !)?
D'ailleurs à ce sujet, est-ce qu'il existe un ensemble infini "plus petit" que [tex]\mathbb{N}[/tex] ? C'est du genre indécidable comme l'hypothèse du continu ou il n'en existe pas?
Bonne soirée,
Jean
#5 Entraide (collège-lycée) » Dénombrabilité de l'ensemble des rationnels » 24-02-2023 22:01:55
- JeanMars
- Réponses : 5
Bonsoir à tous,
en voulant expliquer à mon fils de 13 ans la dénombrabilité de [tex]\mathbb{Q}[/tex], je lui ai demandé de trouver une relation entre les entiers [0,1,...] et les fractions de telle sorte que l'on puisse associer de façon unique un entier à une fraction (sans utiliser le terme bijection, fonction, etc.).
En gros, comment partir d'une fraction (p,q) et lui associer un nombre n sans que 2 fractions différentes ne soient associées à ce même n.
Je voulais lui faire découvrir le principe de l'énumération diagonale pour montrer que l'on peut trouver une bijection de [tex]\mathbb{N}[/tex] sur [tex]\mathbb{Q}[/tex].
Dans sa réflexion, il a fini par me dire:
"On n'a qu'à dire que l'on prend l'entier formé par p chiffres '2' suivi de q chiffres '1'."
Par exemple:
(1,1)-->21
(2,1)-->221
(1,2)-->211
(2,2)-->2211
...
(5,2)-->2222211
etc.
Et là, je ne m'y attendais pas et pour autant cela me semble parfaitement correct, on a bien défini une bijection de [tex]\mathbb{Q}[/tex] sur une partie infinie de [tex]\mathbb{N}[/tex] (et donc sur [tex]\mathbb{N}[/tex] car toute partie infinie de N est dénombrable).
Est-ce correct ?
Merci,
Jean
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