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Bonjour,
Voici l'énoncé du problème :

On se place sur X : L^1([0,1]) muni de la mesure de Lebesgue sur [0,1] et de la norme 1. On considère le sous-espace B : la boule unité fermée de L^2 pour sa norme 2. Montrer que B est un fermé de X

B est bien incluse dans X puisque si l'espace est de mesure finie, on a inclusion décroissante des L^p. Plus précisemment, par Hölder, si l'intégrale de |f|^p est finie sur [a,b] alors celle de |f| se majore par : intégrale de |f|^p sur [a,b] le tout puissance 1/p, fois (b-a)^(1/q).

Le problème est donc de montrer le côté "fermé" de B dans X. Autrement dit, il faut montrer que pour toute suite de fonctions fn, qui vérifient : ||fn||_2 inférieur ou égal à 1 pour tout n, et convergente vers f dans L1, implique f dans L2, et de norme 2 inférieure ou égale à 1. C'est là que je bloque.

Comment montrer, sur un espace de mesure finie, que si une suite de fonctions uniformément bornée par 1 en norme 2, convergente en norme 1, converge en norme 2?...