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Problème de Collatz : un cadre algébrique pour construire l'arbre infini des trajectoires convergentes.

Un algorithme permet d'en calculer, POUR TOUT NOMBRE IMPAIR, une portion de sa structure locale infinie.
(en donnant un nombre de répétitions du calcul pour le limiter puisqu'il est infini)

Les précisions nécessaires sont ajoutées pour exclure toute autre possibilité de trajectoire.
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Calcul de la structure locale de l'arbre infini des trajectoires convergentes.
La règle de calcul Collatz construit, à partir d'un nombre impair de votre choix, une trajectoire T comportant des éléments congrus à 5 modulo 8.
Au premier élément 5 mod 8, l'algorithme calcule les nombres dont la trajectoire rejoint la trajectoire T.
Il est possible de lancer ce calcul pour chacun des éléments 5 mod 8 de la trajectoire.

A = 8p+5
B = 2p+1
C = 8k+5 prédécesseur de B (1)
D = 2k+1

T*(A) = T*(B) : c'est immédiat -- la trajectoire de B est identique à celle de A, conséquence directe de l'identité T*(8p+5) = T*(2p+1) = 3p+2.
Mais T*(A) = T*(B) = T*(C) = T*(D) : c'est décisif et c'est un argument purement algébrique : le calcul est infini à partir de C et D qui deviennent les nouveaux A et B.

Avec ce calcul, il suffit d'une trajectoire expérimentale se terminant à 1 pour prouver que toutes les trajectoires se terminent à 1.

Exemple : 100 nombres obtenus pour le nombre 41, 50 répétitions.
Link to collatz tree 41 rep 50

Python script

Preprint : Preprint

En attente de validation ou contestation par les mathématiciens : je les en remercie par avance.
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(1) Calcul de 8k+5 prédécesseur de B :
          If B mod 3 = 1 then 8k+5 = ((2B-2)/3) x 8 + 5
          If B mod 3 = 2 then 8k+5 = ((B-2)/3) x 8 + 5
          If B mod 3 = 0, then B = 6r+3 est remplacé par 24r+13 (même successeur Collatz)
          et 24r+13 mod 3 = 1
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Précisions nécessaires :
Cas particulier 0 : quand 3n+1 produit une puissance de 2, la boucle 1, 4, 2, 1 est atteinte directement par les divisions par 2. Ces trajectoires convergent trivialement et ne nécessitent aucune analyse supplémentaire.

Précision 1 -- L'algorithme, en tournant à l'infini, va-t-il finir par attraper tous les entiers de l'ensemble des impairs, sans en oublier aucun ?
Réponse : Oui, car c'est structurel. Tout nombre impair produit une trajectoire comprenant des éléments congrus 5 mod 8.
C'est à partir de chaque élément 5 mod 8 que se construit la structure locale infinie de l'arbre infini.
Cette nature structurelle est essentielle : c'est une propriété arithmétique profonde des trajectoires de Collatz, la répartition des résidus modulo 8 et la manière dont ils forcent les transitions.

Précision 2 -- Si l'arbre infini se construit à partir des éléments 5 mod 8, il faut montrer qu'il est impossible pour une trajectoire d'éviter indéfiniment la classe 5 mod 8.
C'est là qu'intervient le diagramme des chemins modulaires : il montre de façon purement algébrique et structurelle que toute boucle ou trajectoire fermée possède nécessairement une porte de sortie vers la classe 5 mod 8, et qu'il est impossible de rester indéfiniment confiné dans une boucle modulaire.

Sous-classes dont le chemin vers 5 mod 8 est arithmétiquement certain :
- Dans la classe 1 mod 16, tout nombre dont le résidu est 17 mod 128 donne un successeur unique congru 5 mod 8.
- Dans la classe 1 mod 16, tout nombre dont le résidu est 65 mod 128 donne un successeur unique congru 17 mod 32, toujours suivi de la classe 5 mod 8.
- La classe 3 mod 16 est toujours suivie de la classe 5 mod 8.
- Dans la classe 7 mod 16, tout nombre dont le résidu est 23 mod 32 donne un successeur unique congru 3 mod 16, toujours suivi de la classe 5 mod 8.
- Dans la classe 9 mod 16, tout nombre dont le résidu est 25 mod 64 donne un successeur unique congru 3 mod 16, toujours suivi de la classe 5 mod 8.
- Dans la classe 9 mod 16, tout nombre dont le résidu est 73 mod 128 donne un successeur unique congru 23 mod 32, toujours suivi des classes 3 mod 16 et 5 mod 8.
- Dans la classe 11 mod 16, tout nombre dont le résidu est 11 mod 64 donne un successeur unique congru 17 mod 32, toujours suivi de la classe 5 mod 8.
- Dans la classe 11 mod 16, tout nombre dont le résidu est 59 mod 128 donne un successeur unique congru 3 mod 16, toujours suivi de la classe 5 mod 8.
- Dans la classe 15 mod 16, tout nombre dont le résidu est 15 mod 64 donne un successeur unique congru 23 mod 32, toujours suivi des classes 3 mod 16 et 5 mod 8.

Diagramme des chemins modulaires
Lien vers le diagramme des chemins modulaires

Pour les sous-classes non mentionnées ci-dessus, le mécanisme est le suivant : quand le successeur d'un élément 8p+5 n'est pas l'un de ceux ayant une sortie forcée directe vers 5 mod 8, la trajectoire traverse une succession de boucles modulaires.
Or chacune de ces boucles possède nécessairement une sortie forcée vers un élément 8k+5 -- c'est la propriété structurelle du diagramme de chemins modulaires, vérifiée par exploration exhaustive des 14 cycles du graphe à 15 nœuds.
Les trajectoires sont ainsi constituées d'une suite de segments, chaque segment allant du successeur d'un élément 8p+5 jusqu'au prochain élément 8k+5.
Ce mécanisme garantit que tout entier impair atteint nécessairement un élément 5 mod 8, quelle que soit la sous-classe à laquelle il appartient.

Mon algorithme est universellement applicable à tout nombre impair, car l'espace arithmétique est totalement homogène : aucun entier, quelle qu’en soit la taille, n'échappe aux aiguillages du diagramme des chemins modulaires ni au hub du 5 mod 8.

Illustration de l'arbre infini
Spectacular illustration of the infinite tree of convergent trajectories

Question posée au lecteur : Voyez-vous une faille dans ces précisions qui permettrait l’existence d’une trajectoire divergente ?

08/06/2026 - Henri Zaharia