Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous! enfin bonsoir... bref!

Une petite colle pour vous parce que là moi je suis perdue...

Énoncé:
Soit n>1, on note Sn l'ensemble des permutations aléatoires de {1,...,n} muni de la tribu discrète et le probabilité uniforme P.
A toute permutation on associe l'ensemble de ces points fixes : F(s)={i dans {1,...,n} tq s(i)=i}.
On note X(s)=Card(F(s)) le nombre de points fixes de s.

Objectif de l'exercice :
donner la loi de la variable aléatoire X (qui va de Sn vers {1,...,n}).

Mes réponses :
Question n°1 : En notant Dn l'ensemble des dérangements de {1,...,n} et pour tout i dans {1,...,n}, Ai={s dans Sn tq s(i)=i}, on a montré que le complémentaire de Dn est égal à l'union sur tous les i des Ai, on a alors trouvé le cardinal de Dn (formule des proba totales).

1er problème : est ce que l'on a bien : P(X=0)=P(Dn)?

Question n°2 : on remarque que l'évènement {X=k} est l'union disjointe sur les J parties à k éléments de {1,...,n} des {s dans Sn tq F(s)=J} et que l'ensemble {s dans Sn tq F(s)=J} est en bijection avec l'ensemble des dérangements de {1,...,n}\J.
On trouve alors P[X=k].

Question n °3 : Pour K fixé, on trouve la limite quand n tend vers l'infini de P[X=k] qui vaut exp(-1)/k!.

2ème problème : quelle loi limite reconnaît-on?

La dernière question est une application des formules précédentes (lors d'une loterie, 1000 joueurs placent un billet avec leur nom dans une urne puis les 1000 billets sont redistribué au hasard aux 1000 joueurs. Un joueur gagne si le billet qu'il reçoit porte son nom ; quelle est la loi du nombre de gagnants?).

Merci d'avance

PS: désolée mais je ne maîtrise pas encore Latex...