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#1 Re : Entraide (supérieur) » En dehors du dénominateur commun, à quoi sert le PPCM ? » 12-11-2025 23:08:33
Bonjour
Voici une identité curieuse faisant intervenir le PPCM et la fonction zêta.
\[\forall s > 1, \qquad \sum_{m, n \geq 1} \frac{1}{\text{lcm}(m,n)^s} = \frac{\zeta(s)^3}{\zeta(2s)} \]
On peut le démontrer en exploitant le produit d’Euler. Dans le cas où $s=2$, on a
\[\sum_{m,n \ge 1} \frac{1}{\text{lcm}(m,n)^2} = \frac{5 \pi^2}{12}\]
Cordialement
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