Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut Mstafa,

En effet, nous n'avons pas encore répondu à l'affirmation du papier, le raisonnement que nous avons fait ne se prète pas aux puissances inférieures à 2^{d+2}. Mais ce que nous avons démontré suffit pour que je puisse quand même conclure! (Ouf :-) ) Encore merci à toi, Bibm@th et ses contributeurs car cette question était en suspend depuis plus d'un mois! (j'étais déjà passé par d'autres forums sans résultats :-( )

@+

Salut Mstafa,

Tout d'abord, un grand merci de ton aide!

La norme que je considère est la norme euclidienne
\[
|x|=\sqrt{x_{1}^{2}+ ... + x_{d}^{2}}\qquad (x\in \mathbb{R}^{d})
\]
mais il doit y avoir moyen d'adapter ton raisonnement. En fait, dans le contexte dans lequel cette afirmation m'a été donnée, on peut choisir l'exposant dans la série de départ aussi grand que l'on veut (pas obligatoirement d+1 mais pourquoi pas 2 (d+1) ce qui permet de retomber sur ton raisonnement). Pour le cas d=1 , je suis d'accord avec toi, j'ai une autre démonstration qui fonctionne :en procédant de manière brutale,
\begin{align*}
\sum_{k\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(1+|x-k|)^{2}} & = \sum_{k=-\infty}^{\lfloor x \rfloor}\frac{1}{(1+|x-k|)^{2}} +\sum_{k=\lfloor x \rfloor +1}^{+\infty}\frac{1}{(1+|x-k|)^{2}} \\
& = \sum_{k=-\infty}^{0}\frac{1}{(1+x-\lfloor x \rfloor-k)^{2}} +\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(1+k+\lfloor x \rfloor-x)^{2}} \\
& \leq 2 \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(1+k)^{2}} .
\end{align*}

Par contre, pour le passage de d à d+1, c'est un peu plus compliqué. Si je comprend bien ton idée, tu as utilisé en résumé la formule
\[
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{c}{c^{2}-n^{2}}= \pi \text{cotg}(\pi c)\qquad \forall c \in \mathbb{C}\backslash \mathbb{Z}.
\]
démontrée dans le contexte des fonctions analytiques. Ok, C'est une bonne idée! Mais à ta toute dernière inégalité, tu as laissé un carré dans ton dénominateur alors que tu l'as perdu par ta définition de a.  A cause de cela, je suis convaincu qu'il faut laisser l'exposant d+1 (ou un exposant plus grand) au dénominateur pendant tout ton développement afin de pouvoir diminuer à chaque coup de récurence cet exposant. J'y réfléchis.