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Bonjour à tous :
@Bernard-maths
c'est bien ce que j'ai essayé de montrer par des raisonnements : pour tout entier pair $2n\geqslant{4}$ il existe un entier  non nul $A\leqslant{n}$, premier ou pas , qui précède un entier $A' = P'$ premier et tel que $A\not\equiv{2n}[P]$ alors par obligation : pour $n+1$ on aura $(2n+2) - (A'+2) = q $ premier , on obtient alors le décalage d'un rang des congruences; d'où , La conjecture serra vérifiée pour 2n + 2.

Comme : $P\leqslant\sqrt{2n}$ est un nombre premier, qui ne peut diviser $2n - A' = q$ ce qui implique aussi $(2n+2) - (A'+2) = q $ , d'où la différence  $q$ serra bien le même nombre premier.

C'est une propriété récurrente de l'algorithme de Goldbach dans les ""congruences"" qui se décalent d'un rang lorsque lorsque  la limite $n$ augmente de 1, donc $2n +2$
par conséquent tout pour tout $A\leqslant {n}$ impair qui précède $A'+ 2 = p'$ premier et tel que $A\not\equiv{2n}[P]$ , sa congruence ""propriété"" se reportera sur $A'$

d'où : $(2n+2) - (A'+2)$ serra une solution vérifiant que $2n+2 = P'+q$ car le contraire serait clairement faux ...

Donc on n'a nul besoin de s'occuper uniquement de l'existence d'un entier $p\leqslant{n}$ et de l'existence d'un complémentaire $q$ par rapport à $2n$.
Mais qu'il existe toujours pour une limite $n\geqslant{3}$ un  $A\not\equiv{2n}[P]$ qui précède $A'=p'$.

On sait d'après le TNP que quelque soit la limite $n\geqslant{3}$ il existe environ :
1): $\pi(n)$ équivalent à $\frac{n}{Ln\:n}$ et en 2): $G(n)$ le nombre de $A\not\equiv{2n}[P]$ équivalent à $\frac{n}{Ln\:(2n)}$ qui implique le nombre de premiers $q\in{[n ; 2n]}$ .

On peut d'ailleurs par famille et pour toute limite fixée $N = n/30$ avec $n\geqslant{300}$ en déduire avec la fonction $\frac{\pi(N)}{Ln\:2N}$ le nombre de $A' = P'$ qui implique le nombre de couples $P' + q = 2n$ par famille.

Pourquoi : pour toute limite $2n$ vérifiée on a aussi vérifié grâce à la propriété de l'algorithme, le  nombre de $A\leqslant {n}$ non congruent à $P$, qui précèdent $A'+2 =p'$ un nombre premier.
Or cela implique le nombre de solutions qui vont vérifier la limite suivante $p'+q = 2n+2$, donc l'existence d'un $p'\leqslant{n}$ Tel que $p'\not\equiv{2n}[P]$ , qui sera une solution pour $2n+2 = p'+q$ 

Supposons le contraire pour $n+1$ : il faut que tous les $A$ soient congrus à $2n+2$ modulo $P$.
A) : c'est à dire, ceux qui étaient déjà congrus à $2n$ modulo $P$ , mais aussi ceux qui le seront, ""congrus"" pour $2n+2$ modulo $P$ . Ce qui est clairement impossible, les restes $R$ de la division de $2n$ par $P$ ne sont plus les mêmes pour la division de $2n + 2$ par $P$ avec le même cardinal +1 ... !

B) : Cela modifierait de façon importante le nombre de nombres premier $q\in[n ; 2n]$ qui ont été vérifiés et dénombrés lors de la limite précédente, donc contraire au TNP et au TFA.

Les restes $R$ de $2n$ par $P$ , changent pour toute limite $n+1$ criblée, par conséquent les $A$ premiers ou pas , qui précédaient des $p'$ et qui étaient congrus à $2n[P]$ ne peuvent plus l'être , dès  lors ils deviennent en moyenne générale non congru à $2n+2 [P]$ avec ces mêmes nombres $P$ ...
là aussi on aurait une contradiction avec le TNP mais aussi le TFA, si $2n - A$ est un multiple de $P$ il est clair que $(2n+2) - (A'+2)$ serra toujours un multiple de $P$ ; car par évidence, on ne peut pas utiliser les restes $R$ de la limite $n$ précédente.

lorsque $n$ augmente de 1, le nombre de $p'$ restent le même, le nombre de premiers $P$ qui criblent la limite $n+1$ sont les mêmes, éventuellement à une exception près;

le nombre de $A\equiv{2n+2}[P]$ à une exception près est le même , donc il en est ainsi pour le nombre de  $A\not\equiv{2n+2}[P]$

il vient par conséquent que la variation de $A\not\equiv{2n}[P]$ qui précédaient les $A'=P'$ ,ne peut varier que de façon négligeable..!
Car il n'y a que les index de départ des nombres P qui criblent, qui vont se décaler d'un rang, ce qui occasionne le décalage d'un rang des congruences sur leur successeur $A_i + 2$, ou $A_i + 30$,si on crible par famille modulo 30 ...

C) : On en déduit donc de façon formelle, qu'un couple de premiers $p'+q = 2n + 2 $ vérifiant la conjecture, $p'$ et $q$ ne sont pas deux événements indépendants, puisque $q$ dépend de la congruence de $p'$ ou encore de $A = p'$ ou pas ! Et tel que $A\not\equiv{2n}[P]$ où $A$ précède un nombre premier $p'$ .

Ou alors il n'y a plus de $A$ qui précèdent un nombre premier $ p'$, ni de premiers $p'$ consécutif pour la limite $n+1$ suivante car ils ont disparus par miracle ce qui est complètement idiot , car l'algorithme est récursif ...

L'algorithme reproduit la même image des congruences de la limite $n$ décalait d'un rang, du fait que les index relatif à chaque nombre premier P augmentent de 1;  ainsi que l'image des nombres premiers $p'$ qui serra la même.

Le contraire est clairement impossible, suivante l'égalité récurrente démontrée : $2n - A$ est identique à $(2n +2) - (A+2)$ ...etc etc...

j'utilise diverses fonction asymptotique du TNP pour estimer le nombre de $A'=P'$ non congrus à 2n modulo P , inférieur à une limite $n$ fixée .

Il faudrait donc éventuellement montrer aussi si possible, un bornage minorant et majorant ce nombres de $A'=P'$ non congrus à 2n modulo P par rapport à $n$  et dès lors cela rendrait analytiquement impossible, l'existence d'un entier $2n\geqslant{6}$ qui ne se décompose pas en somme de deux nombres premiers $p'+q$; sachant que cela n'apportera pas grand chose de plus...

Puisque par supposition, la conjecture étant vérifiée pour la limite $n$ ; il est alors impossible de l'infirmer pour la limite $n+1$ conséquence de cette propriété récurrente de l'algorithme. (" C'est un peu le principe de la démonstration de l'infinité des nombres premiers utilisait par Euclide ")

04/11/2024
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