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je fais appel à vous pour m'éclairer sur certains "détails" du calcul de la dérivée partielle de f(x)=min(x,y²)

on trace la courbe $\Gamma$ d'équation $y²=x$ et on délimite le plan en deux domaines
$U=\{(x,y) I x<y²\}$ ( à gauche de l'axe des ordonnées)  et  = \{(x,y) I x>y²\}$
(domaine à l'intérieur de la parabole qui est symétrique à l'axe des abscisses positives)

**si on pose $(x0,y0)\in U$ alors $f(x) = x$  et donc
        $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x} = 1 $  et
        $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y} = 0$
**si on pose $(x0,y0)\in V$ alors $f(x) = y²$  et donc
        $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x} =0 $  et
        $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y} =2y0$
** si $(x_0,y_0)  \in \Gamma$ c'est à dire que $x_0 = y²_0$

$\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x}= lim   \frac{1}{t} (f(x_0+t,y_0) - f(x_0,y_0))$  lorsque $ t\longrightarrow 0$
on le calcule pour $t > 0 \Rightarrow \frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x}=\frac{1}{t} (y²_0 - y²_0) = 0$
on le calcule pour $t< 0  \Rightarrow \frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x} = \frac{1}{t} ( x_0+t - x_0) = 1$

on en déduit que $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x}$ n 'est pas définie

Première question : pourquoi l'avoir calculé pour t>0 et t<0?

Pour la deuxième dérivée partielle

$\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}= lim   \frac{1}{t} (f(x_0,y_0+t) - f(x_0,y_0))$  lorsque  $t\longrightarrow 0$
on considère deux cas
** si $y_0\neq0$  et $t$ du signe de $y_0$    : $ \frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}=\frac{1}{t} (x_0 - x_0)= 0$

** si maintenant $t$ est de signe opposé à ce lui de $y_0$  :  $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}=\frac{1}{t} ( (y_0+t)² - y²_0) = 2y_0 +t$

on en déduit que $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}$ n 'est pas définie

** si $y_0 =0$  alors $x_0=0$ alors pour tout $t\neq0$

$\frac{1}{t}(f(0,0+t) - f(0,0)=0$ donc   $\frac{\partial f (0,0)}{\partial y}=0$

Deuxième question: je ne comprend pas la méthode pour $\frac{\partial f }{\partial y}$ différente de $\frac{\partial f }{\partial x}$
Merci pour les réponses que vous pourrez m'apporter

[Edit Fred : il faut mettre ton code LaTeX entre dollars, sinon il n'est pas interprété ! ]