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#1 Re : Entraide (supérieur) » Comment démontrer la formule d'Euler? » 01-01-2025 12:06:15
Bien, donc je définis l'exponentielle complexe comme telle (convergence absolue assurée par d'Alembert), j'arrive ensuite à démontrer la formule d'Euler et donc les résultats sur les complexes qui s'en suivent. Il y a coïncidence sur [tex]\mathbb{R}[/tex] entre l'exponentielle réelle et l'exponentielle complexe grâce au développement en série entière de l'exponentielle réelle que je sais démontrer.
Y a-t-il d'autres choses à considérer afin que tout concorde?
#2 Re : Entraide (supérieur) » Comment démontrer la formule d'Euler? » 01-01-2025 11:46:20
Bonjour,
Je pense le définir comme [tex]exp(i\theta) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(i\theta)^{n}}{n!}[/tex].
D.A.
#3 Entraide (supérieur) » Comment démontrer la formule d'Euler? » 31-12-2024 19:51:14
- D.Am.Gom
- Réponses : 5
Bonjour,
J'essaye d'établir une démonstration de la formule d'Euler : [tex]\forall \theta \in \mathbb{R}, exp(i\theta) = cos(\theta) + isin(\theta)[/tex] (que j'avais admise jusqu'alors).
J'avais déjà fait une démonstration par les équations différentielles, mais celle-ci utilise la dérivation de [tex]x \longrightarrow e^{ix}[/tex], dérivation dont la seule preuve que j'ai utilise ladite formule d'Euler (pas satisfaisant).
J'ai donc décidé d'entreprendre la preuve par les développements en série entière. Pas de problème pour les développements de sinus et cosinus à l'aide de Taylor reste intégral. Par contre, pour l'exponentielle, j'aimerais montrer que [tex]\forall z \in \mathbb{C}, \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{n}}{n!} = exp(z)[/tex]. Mon problème est là : je ne sais pas si c'est une expression que l'on pose, ou que l'on démontre. J'en ai bien trouvé des démonstrations (sur Internet, ou dans mon ancien cours en prépa), mais qui font intervenir la formule d'Euler d'une manière ou d'une autre avec les propriétés de l'exponentielle complexe.
Que dois-je donc faire pour arrêter de tourner en rond?
Merci pour votre aide.
D.A.
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