Forum de mathématiques - Bibm@th.net

D'accord merci, je vais donc recopier tout l'énoncé et la solution proposée pour savoir si j'ai loupé quelque chose avant ou s'il s'agit bien d'une erreur.

Montrer que $P_{n}=\prod\limits_{k=1}^n (1+\frac{1}{k})^k = \frac{(n+1)^n}{n!}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$

Solution :
Il revient au même de calculer $S_n = ln(P_n )$

On a :
$ S_n = ln(\prod\limits_{k=1}^n (\frac{k+1}{k})^k )$

$= \sum\limits_{k=1}^n (k\, ln(k+1)- k\,ln(k))$

$= \sum\limits_{k=1}^n k\, ln(k+1)- \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

et le changement d'indice $j=k+1$ dans la première somme donne :

$ S_n = \sum\limits_{j=2}^{n+1} (j-1)\,ln(j)- \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

$=  \sum\limits_{j=2}^{n+1} j\,ln(j)- \sum\limits_{j=2}^{n+1} ln(j) - \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

$=  \sum\limits_{k=2}^{n+1} k\,ln(k)- \sum\limits_{k=2}^{n+1} ln(k) - \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

$= (n+1)\,ln(n+1)-\sum\limits_{k=2}^{n+1} ln(k)$

(on a utilisé le fait que l'indice est muet dans une somme). On a donc en définitive :

$S_n = ln(P_n )=ln((n+1)^{n+1} )- \sum\limits_{k=2}^\color{Red}{n+1} ln(k)$

$=ln((n+1)^{n+1} )- ln(\prod\limits_{k=2}^\color{Red}{n} k)$

$=ln((n+1)^{n+1} )- ln(n!)$

$=ln (\frac{(n+1)^\color{Red}{n+1}}{n!})$

et $ P_n = \frac{(n+1)^\color{Red}{n}}{n!}$

J'ai mis en rouge les problèmes d'indices.

Merci pour votre aide !