Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour, je dois réaliser un dm de maths j’ai réussi à réaliser l’exercice 1 malheureusement il est impossible pour moi de faire le reste en raison d’un retard assez considérable dans la matière. Quelqu’un aurait la gentillesse de réaliser ce DM. Merci bonne soirée.

DEVOIR MAISON : DERIVATION ET EXPONENTIELLE
20 points - A rendre le jeudi 23 mai 2024

Exercice 1 - Coût minimal et bénéfice maximal
10 points
Un artisan fabrique des bottes sur mesure. Toute paire de bottes est donc commandée, fabriquée et
vendue au prix de 201 €. On note C la fonction qui, à chaque nombre x de paires de bottes fabriquées, associe le coût total de fabrication de ces x paires.
On donne, pour tous x E [10; 30], C (x) = x3 - 30x2 + 309x + 500.
1. Etude du coût marginal
On rappelle que le coût marginal de fabrication Cm d'une unité supplémentaire se calcule avec la dérivée du coût total.
a. Démontrer que pour tous x € [10; 30], Cm (x) = 3(x - 10)2 + 9.
b. En déduire pour quelle quantité fabriquée le coût marginal est minimal.
2. Etude du bénéfice
a. Démontrer que le bénéfice obtenu pour la fabrication et la vente de x paires de bottes est donné par B (x) = -x3 + 30x2 - 108x - 500.
b. Combien de paires de bottes faut-il fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice maximal ?

Exercice 2 - Avec une fonction auxiliaire
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (x - 2)e* + x + 1.
Justifier que f est dérivable sur R et déterminer une expression de f' (x).
Soit g la fonction définie sur R par g (x) = (x - 1)e* + 1.
a. Etudier les variations de la fonction g.
b. En déduire que pour tous x E R, g (x) ≥ 0.
3. Montrer que f' (x) = g(x) pour tous x E R et en déduire les variations de f.
5 points

Exercice 3 - Concentration en principe actif
Après administration d'un médicament à un patient, on modélise la concentration (en
microgrammes par litre) de son principe actif dans le sang par une fonction f définie par :
$f(t) = 15e^{-0,2t}$
Avec t E [0; +∞[, t correspondant au temps, en heure, après l'administration.
1. Déterminer la concentration initiale.
2. Déterminer la concentration au bout de deux heures.
3. Estimer au bout de combien de temps la concentration aura diminué de moitié après l'administration.