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Bonjour,

Ce n'est pas une option et ça n'use les doigts de personne !
*** Yoshi - Modérateur ***

Pour calculer l'intégrale ∫∫s x dxdy, où s est le domaine délimité par la droite qui passe par les points A (2,0), B (0,2), et l'arc de circonférence de rayon 1 et de centre (0,1), nous devons diviser le domaine en deux parties et effectuer les intégrations séparément.

Premièrement, nous allons intégrer sur la partie délimitée par la droite AB. La droite AB peut être représentée par l'équation y = 2 - x. Les limites d'intégration pour x sont de 0 à 2, et pour y, elles vont de 0 à 2 - x. Ainsi, nous avons :

∫∫s1 x dxdy = ∫[0,2]∫[0,2-x] x dy dx

En intégrant par rapport à y, nous obtenons :

∫∫s1 x dxdy = ∫[0,2] (xy)|[0,2-x] dx
                                = ∫[0,2] x(2-x) dx
                                = ∫[0,2] (2x - x^2) dx
                                = [x^2 - (x^3)/3] |[0,2]
                                = (2^2 - (2^3)/3) - (0^2 - (0^3)/3)
                                = (4 - 8/3) - (0 - 0)
                                = 4/3 - 8/3
                                = -4/3.

Maintenant, nous allons intégrer sur la partie délimitée par l'arc de circonférence de rayon 1 et de centre (0,1). Cette partie peut être représentée en coordonnées polaires par les limites θ allant de π/2 à π et r allant de 0 à 1. Ainsi, nous avons :

∫∫s2 x dxdy = ∫[π/2,π]∫[0,1] (rcosθ) r dr dθ

En intégrant par rapport à r et θ, nous obtenons :

∫∫s2 x dxdy = ∫[π/2,π] (1/2)cosθ dθ
                                = (1/2)sinθ |[π/2,π]
                                = (1/2)(sin(π) - sin(π/2))
                                = (1/2)(0 - 1)
                                = -1/2.

Enfin, pour obtenir le résultat final, nous additionnons les deux intégrales :

∫∫s x dxdy = ∫∫s1 x dxdy + ∫∫s2 x dxdy
                  = -4/3 - 1/2
                  = -8/6 - 3/6
                  = -11/6.

Ainsi, l'intégrale ∫∫s x dxdy, où s est le domaine délimité par la droite qui passe par A (2,0), B (0,2), et par l'arc de circonférence de rayon 1 et de centre (0,1), est égale à -11/6.