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Bonjour,

je veux resoudre le système différentiel suivant :

[tex]
\begin{align*}
P_{1}^{\prime }(t) &=r_{1}-d_{1}P_{1}(t)-rP_{1}(t)+P_{1}(t)\sum_{j=1}^4 d_{j}P_{j}(t) \\
P_{2}^{\prime }(t) &=r_{2}-d_{2}P_{2}(t)-rP_{2}(t)+P_{2}(t)\sum_{j=1}^4 d_{j}P_{j}(t) \\
P_{3}^{\prime }(t) &=r_{3}-d_{3}P_{3}(t)-rP_{3}(t)+P_{3}(t)\sum_{j=1}^4 d_{j}P_{j}(t) \\
P_{4}^{\prime }(t) &=r_{4}-d_{4}P_{4}(t)-rP_{4}(t)+P_{4}(t)\sum_{j=1}^4 d_{j}P_{j}(t)
\end{align*}
[/tex]

avec [tex]  \ r_{1},r_{2},r_{3},r_{4} [/tex] et [tex]  d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}[/tex] sont des constantes et [tex]  \displaystyle r= \sum_{j=1}^4 r_{i} [/tex] avec l'information que [tex]  \displaystyle \sum_{i=1}^4 P_{i}(t)=1 [/tex] (vecteur probabilité). et [tex]  P_{1}(t=0)=p_{1} , P_{2}(t=0)=p_{2} , P_{3}(t=0)=p_{3}, P_{4}(t=0)=p_{4} [/tex]

j'ai essayais de l'écrire sous forme matricielle :

[tex]

$$P^{\prime }(t)=B+A.P(t)-P(t).\mathrm{trace}(AP(t)+B)$$ [/tex]

avec [tex] P(t)=
\begin{bmatrix}
P_{1}(t) & 0 & 0 & 0 \\
0 & P_{2}(t) & 0 & 0 \\
0 & 0 & P_{3}(t) & 0 \\
0 & 0 & 0 & P_{4}(t)
\end{bmatrix} , \quad B=
\begin{bmatrix}
r_{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & r_{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & r_{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & r_{4}
\end{bmatrix}, \quad A=
\begin{bmatrix}
-d_{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -d_{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -d_{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & -d_{4}
\end{bmatrix}
.
[/tex]

Quelqu'un pourrait-il m'indiquer comment m'y prendre.

merci