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#1 Re : Entraide (supérieur) » Problème de probabilité par AROUE » 27-09-2010 11:08:20
Merci pour la réponse.
edit ; je me suis en effet emmelée les pinceaux avec les indices...
Dans mon raisonnement, à chaque génération n, le système [tex]\{X_n=0, X_n>0\}[/tex] est un système complet d'évènements. En particulier pour [tex]n=1[/tex] (donc la deuxième génération), on obtient alors le système complter [tex]\{X_1=0, X_1=2\}[/tex]... d'où l'équation (en modifiant les indices).
#2 Re : Entraide (supérieur) » Problème de probabilité par AROUE » 27-09-2010 00:36:14
Avec cette correction, le raisonnement me parait bien ok. Par contre, ca me parait un peu plus long que dans mon cas pour faire apparaitre le rapport direct entre [tex]U_n[/tex] et [tex]U_{n-1}[/tex]...
Malgrè cela, je reste intriguée par le fait que mon raisonnement ne te semble pas correct. Quelle est la partie mise en cause ?
#3 Re : Entraide (supérieur) » Problème de probabilité par AROUE » 26-09-2010 08:44:51
Voilà où je pense que si situe l'erreur dans le raisonnement :
[tex] P(X_{n+1}=0 | X_n > 0)=1-p[/tex].
Pour moi, on ne peut pas calculer de manière si simple cette probabilité conditionnelle car elle dépend du nombre de fleurs à la génération n.
Prenons la deuxième génération : Il y a 0 fleur ou 2. Donc
[tex] P(X_3=0 | X_2>0) = P(X_3=0 | X_2=2) = (1-p)^2 [/tex]
En effet, il faut que chacune des deux fleurs n'ait pas de descendants, d'où la mise au carré..
Maintenant, pour une génération n quelconque, le nombres de fleurs possibles est encore plus grand [tex]0,2, \cdots , 2^n[/tex], et suivant le nombre de fleurs, la probabilité [tex] P(X_{n+1}=0 | X_n > 0)[/tex] sera égale à [tex]1, (1-p)^2, \cdots , (1-p)^{2n}[/tex] et le calcul en utilisant la formule des probabilités totales avec comme partition [tex]X_n=0[/tex] ou [tex] X_n >0[/tex] ne me parait plus facilement utilisable.
Concernant "mon" raisonnement, avec quelle partie n'es-tu pas ok ?
#4 Re : Entraide (supérieur) » Problème de probabilité par AROUE » 25-09-2010 21:36:30
Bonsoir,
Pour l'énoncé, je pense l'avoir bien compris, mais il faudrait retrouver le post original avec l'énoncé pour être certain.
La variable aléatoire [tex]X_n[/tex] représente le nombre de fleurs à la génération n+1.
Pour passer de [tex]U_{n-1}[/tex] à [tex]U_n[/tex], voilà mon raisonnent :
Je me place à la deuxième génération, il y a soit 0 fleur (avec une probabilité 1-p), soit 2 fleurs (avec une probabilité p).
- Si il y a 0 fleur, alors la probabilité qu'il y en ait toujours 0 à la génération n+1 est de 1 :
[tex] P(X_n=0 | X_2=0) = 1 [/tex]
- Si il y a deux fleurs alors pour chacune de ces fleurs, le nombre de descendants n'est plus de [tex]n+1[/tex] mais de [tex]n[/tex]. Or, à chaque génération, les probabilités qu'une fleur ait 0 ou 2 descendants restent identiques.
Donc [tex]U_{n-1}[/tex] = Probabilité qu'il n'y ait plus de fleurs à la génération [tex]n[/tex] ou encore, probabilité qu'une fleur d'une génération [tex]p[/tex] quelconque n'ait plus de descendants à partir de la génération [tex]n+p-1[/tex].
Donc, pour chacune des deux fleurs de la deuxième génération, il y a une probabilité de [tex]U_n[/tex] qu'il n'y ait plus de descendants à la [tex]n+2-1=n+1[/tex] ieme génération. D'où
[tex] P(X_n=0 | X_2=2) = U_n^2 [/tex]
On arrive alors à la formule demandée par la formule des probabilités totales.
J'espère être claire ;)
#5 Entraide (supérieur) » Problème de probabilité par AROUE » 23-09-2010 23:16:28
- balustre
- Réponses : 11
Bonsoir,
Je m'excuse sincèrement pour le problème latex causé dans le post initial. Je me suis en effet emmelée les pinceaux entre prévisualiser et envoyer, penssant que la lenteur après prévisualiser provennait de ma connexion et non d'une erreur dans le code, que j'avais testé auparavant...
Dans tous les cas, la solution initilement donnée ne me paraissait pas correcte car elle supposait qu'à l'ordre n, il n'y avait le choix qu'entre 0 ou 1 fleur, alors qu'en fait, il peut y avoir à la (n+1)ieme génération :
[tex] X_n=0,~2~,4~,\cdots~,2^n[/tex]
il est alors plus compliqué de regarder un arbre entre une génération n et la génération suivante.
Il me parait plus simple de regarder le problème de la manière suivante :
- D'une part, la branche issue du cas où il n'y a pas de fleurs dès la deuxième génération. La probabilité de cette branche est alors [tex](1-p) \times 1 \times 1 \times \cdots \times1=1-p[/tex]
-D'autre part, la branche issue du cas où il y a deux fleurs dans la deuxième génération : Pour chacune de ces fleurs, le nombre de déscendants à considérer est donc rabaissé d'une unité ...(on retombe alors sur [tex]U_{n-1}[/tex]... puis sur [tex]p \times U_{n-1}^2[/tex] pour la totalité de la branche).
On a utilisé ici la formule suivante :
[tex]U_n=P(X_n=0 | X_2=0) \times P(X_2=0) + P(X_n=0 | X_2=2) \times P(X_2=2)[/tex]
---------------------------------------
Pour résumer, le problème posé était le suivant :
une fleur d'une génération peut engendrer à la génération suivante soit deux fleurs avec la probabilité p; soit aucune avec la probabilité 1 - p ; la génération 1 est constituée d'une fleur et les nombres de descendants de la génération n+1 est noté [tex]X_n[/tex] et [tex]U_n=P(X_n=0) [/tex].
Il faut montrer que [tex]U_{n} = p \times U_{n-1}^2 + 1-p[/tex]
#6 Re : Entraide (supérieur) » problème de probabilité » 23-09-2010 16:45:50
Bonjour,
Le raisonnement ci dessus m'a l'air érroné puisque pour la génération "n", le choix n'est plus entre 0 ou 1 fleur comme pour le première génération. On peut en fait avoir [\tex]X_n =0,~X_n=2,X_n=4, \cdots, X_n=2^n[/tex].
Ainsi le raisonnement par récurrence en utilisant un arbre entre la génération "n" et la génération "n+1" devient plus compliqué.
Quelques indications pour obtenir la formule de récurrence : [tex]U_n = p \times U_{n-1}^2 +1-p [/tex] : considérer d'une part
- La branche dans laquelle dès la deuxième génération il n'y a plus de fleur, et ce jusqu'à la (n+1) ieme générations. La probabilité de cette branche est donc de [tex](1-p) \times 1 \times 1 \times \cdots \times 1 = 1-p [/tex]
- D'autre part, la branche dans laquelle il y a deux fleurs à la deuxième génération. Chacune de ces deux fleurs a alors un décendant de moins que la toute première.... et on obtient alors facilement la formule demandée.
(On utilise en fait :
[tex] P(X_n=0) = P(X_n=0 | X_2=0) \times P(X_2 =0) + P(X_n=0 | X_2 = 2) \times P(X_2 = 2) [/tex] )
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