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J’ai trouvé une méthode de résolution matricielle des polynômes qui s’adapte au degré 2,3 et 4 (sans doute que pour le degré 5, Galois va détruire le processus !)

Pouvez vous me donnez votre avis car je n’ai vu cette approche dans aucun bouquin, elle ne sert sans doute à rien pratiquement mais je la trouve sympa  d’un point de vue mathématique pur puisqu’elle exprime des formules littérales.
Peut-elle débouchée sur une autre voie concernant le degré 5 ?
Je cherche encore….

En fait tout est parti de l’idée que pour « n » racines, il pouvait exister une matrice de linéaire de « n »  équations  avec « n-1 » variables mais associés à des coefficients particuliers qui serait aussi nombreux que les racines  (important).
Et ma surprise avait été de taille lorsqu’en mettant sur le papier cette idée simpliste, l’ensemble c’est mis en musique.

Démo : (avec mes excuses pour les symboles car je n’ai pas les caractères mathématiques appropriés pour les puissances, racines et autres exponentielle trigo !)

Hypothèse : la matrice fait toujours référence au polynôme simplifier par le changement de variable connu : X=x+v avec « v » qui annule le terme de degré «n -1 » toujours égal à la somme des racines (soit Sx=0)

Et devient donc : Yn= x^n+ S.x^(n-1) +M2.x^(n-2) +M3.x^(n-3)…. +P

Où S=0 comme convenu avec le changement de variable « v » ; M2, M3,…P sont les coefficients du polynôme simplifier (produit mixte deux à deux puis trois à trois etc…jusqu’à « P» produit de toutes les racines

J’appelle x0, x1,x2 …etc…xn,  les racines du polynôme simplifié de degré « n »
J’appelle  a, b, c, …les variables recherchées de niveau « n-1 »(c.à.d. nombre de variables =nombre de racines -1)
J’appelle α,β,γ,δ… les coefficients associés aux variables ci-dessus. (Ce sont eux qui étaient difficiles à trouver… bien que curieusement tous simples jusqu’au degré 4 !)

Le but est de calculer les valeurs des variables a,b,c,… qui sont heureusement  toujours donner par une équation de niveau « n-1 »

EXEMPLE Pour N=2
Nous avons 2 racines x0 et x1
Donc 1 seule variable « a » à trouver avec deux coefficients clés « +1 » et « -1 ».

On a donc le système simple de deux équations à deux inconnues mais une seule variable recherchée :
a=x0 et –a=x1 avec le miracle qui apparaît puisque x0+x1=S et x0.x1=P qui permet de trouver « a » car le système est vérifier pour x0+x1=0 (puisque S=0 est confirmé par a-a=0)
Et x0.x1=(a).-(a)=(-a²)=P

D’où « a » =√(-P). Il est heureux de constater que l’on retrouve indirectement la valeur du  discriminant  puisque en remontant à la vrai racine d’un polynôme Y=AX²+BX+C on a bien X= X=v+x soit Y=Ax²+(2Av+B)x+(Av²+Bv+C)
Donc  pour v=-B/2A on a Y=Ax²+0+(-B²+4AC)/4A
Ainsi Y=0 pour x0=√(-P). :
Soit X0=v+x0= -B/2A + √(-P)
avec P=(-B²+4AC)/4A²

Là où cela devient intéressant c’est que la méthode s’applique au degré 3 et 4 avec d’autres coefficients.

EXEMPLE POUR N=3

Ici les racines s’appellent x0,x1,x2
Donc 2 variables « a » et « b »
mais trois coefficient clés « +1 », « exp(2i/3) », «  exp(-2i/3) »
d’où l’équation à trois inconnues mais deux variables recherchées:
a+b=x0
exp(2i/3).a+ exp(-2i/3).b=x1
exp(-2i/3).a+ exp(2i/3).b=x2

Comme x0+x1+x2=S ; x0.x1+x0.x2+x1.x2=M2 et x0.x1.x2=P sont tous connus on en déduit simplement les valeurs de « a » et « b »
je donne directement le résultat du système qui en résulte :

a^3+b^3=P
a^3 . b^3=-M2^3/27

qui sont les solutions d’une équation de degré 2
X²-PX+(-M2^3/27)
On retrouve quelque chose qui ressemble au solutions de CARDAN

Et enfin la démo pour le degré 4 :

Ici les racines s’appellent x0,x1,x2,x3
Donc 3 variables « a »  « b »  « c »
mais quatre coefficient clés « +1 », « -1 », «  -1 » ; « +1 »
d’où l’équation à quatre inconnues mais trois variable recherchées:
a+b+c=x0
-a+b-c=x1
-a-b+c=x2
a-b-c=x3

d’où l’on extrait le système suivant:

a^4+b^4+c^4=(4P+M2^2)/8
a^4.b^4+ a^4.c^4+ b^4.c^4=(M2^4)/256+(P^2)/16 –(M^2.P)/32+(M2.M3^2)/64
a^4.b^4.c^4=(M3^4)/8

qui sont les solutions d’une équation de degré 3 :
X^3-(4P+M2^2)/8.X^2+(M2^4)/256+(P^2)/16 –(M^2.P)/32+(M2.M3^2)/64.X-(M3^4)/8

En résumé j’en suis au stade où je sais que pour n’importe quel polynômes de la forme X^n + X^(n-2) + X^(n-) + …+Cte
Il existe toujours une matrice avec des coefficients propres au degré concerné et que ceci est démontré jusqu’au degré 4.Grâce à ces coefficients, les variables à trouver débouchent toujours sur un polynôme de degré inférieur à celui recherché

Une fois découverts, les coefficients associés sont curieusement invariables en fonction du degré. Pour l’instant le seul point commun que je leur ai trouvé c’est d’être solutions de polynôme de forme similaire :

(X+1)(X-1)=0 pour degré 2
X^3+1=0 pour degré 3 (avec 3 racines complexes)
(X-1)(X+1)(X+1)=0 pour degré 4

Qui plus est, il semblerait que la matrice qu’ils réalisent doit ressembler à quelque chose de la forme :
    1   1    1 
       α   α    β
       α   β    α
       β   α    α   
Avec la particularité d’avoir toujours une somme verticale nulle par colonne (exemple ici dans le degré 4 : 1+2 α + β = 0 avec α=-1 et β=1)

Cette forme est vrai pour les trois degrés sus cité et hélas pourrait expliquer que l’on ne puisse aller au-delà de 4 ! Car je ne suis pas encore parvenu à trouver les 5 coefficients du degré 5

Voilà, en espérant que vous y trouverez le même plaisir que moi dans cette approche aussi inutile qu’agréable et qui sait, trouver les fameux coefficients associés au degré 5 !

Salutations m@thém@tiques

Papilou