Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à toutes et à tous, je vous espère une bonne journée,

  J'ai rencontrer un problème quand j'ai travaillé un exercice sur les déterminants, Il m'a pris beaucoup de temps mais j 'ai pas pu figurer comment s'en sortir, et j'aimerai bien si qqun m'aide à le résoudre, voilà l'exercice :
 
" Chercher une relation de récurrence linéaire d'ordre 2, et calculer les déterminants suivants  :
  ...

  D_n =
\begin{array}\\
a&b&b&...&b&b\\
b&a&0&...&0&b\\
:&0&a&0&...&b\\
:& & && & :\\
b&0&...&0&a&b\\
b&b&...&b&b&a\\
\end{array}

* désolé pour la rédaction, je ne suis très familier avec Latex, j'espère que c'est compréhensible.

Bonjour à tous et à toutes,

Au préalable, je vais présenter l'énoncé de l'exercice dont je vais parler.

" Soit A et P deux polynômes de K[X]. On suppose que P est non nul et ne divise pas A.
1) pour tout entier naturel non nul n, il existe des polynômes A₀, A₁, ..., A_n−1, R_n uniques tels que :

[tex]A = A_0 + A_1P + A_2P^2 + .... + A_{n-1}P^{n-1} + R_nP^n[/tex], avec deg(A_k)< deg(P), 0 ≤ k ≤ n − 1.

2) Si P est irréductible, la décomposition en éléments simples de la fraction [tex]\dfrac{A}{P_n}[/tex] est [tex]\dfrac{A_0}{P^n} +\dfrac{A_1}{P^{n-1}} + ... + \dfrac{A_{n-1}}{P}  + R_n[/tex] "

3) on pose [tex] F= \dfrac{3X^8 + 4X^2 +1}{(X^2 +2X +3)^3}[/tex]  "

- Je veux savoir :

1-Comment utiliser les résultats des question 1 et 2 au-dessus, pour décomposer F
2- Est-ce qu'il existent des autres méthodes pour déterminer la partie entière (polynomiale) de F autre que la méthode classique ( division euclidien, qui sera très longue dans ce cas)
3-En grosso-modo, je cherche comment décomposer F en éléments simples dans R[X] par des méthodes restreintes et simples.

Merci bien, je vous souhaite une belle journée.

Bonjour à toutes et à tous,

Dans la correction j'ai trouvé cela :
" Les pôles de 1/(Xⁿ−1) sont les racines n-ièmes de l'unité, c'est-à-dire les complexes x_k=e^2ikπ/n, k=0,…,n−1. Chaque pôle est simple, la partie polaire correspondante est donc de la forme c_k/(X−x_k) avec c_k=1/P′(x_k)=1/n(x_k)^n-1 ... "

je veux comprendre pourquoi c_k=1/P′(x_k)

   Cordialement