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Bonjour,
le pb IMO Hong-Kong 94 (n, m  entiers tels que  nm-1 divise [tex]n^3 + 1[/tex]) est vraiment intéressant.
Voici un plan de solution:
- Les identités:
[tex]n(n^2+m) = n^3 + 1 + mn -1[/tex]
[tex]n(m^2+n) = n^2 + m + m(mn-1)[/tex] et
[tex]m^3 + 1 = m(m^2 +n) - (mn -1)[/tex]
montrent que si n et m sont solutions, mn -1 divise non seulement [tex]n^3 + 1[/tex] mais aussi [tex]n^2 + m[/tex], [tex]m^2 + n[/tex] et [tex]m^3 + 1[/tex] (car mn-1 est premier avec n)

- Les couples solutions sont donc symétriques et on peut supposer que m <= n

- Pour m = 1, on a n - 1 divise [tex]m^2 + n = n +1[/tex] donc n-1 divise 2 et n = 2 ou 3

- Pour m= 2, on 2n -1 divise n + 4 donc 2n-1 divise 2n+ 8 et par suite 2n-1 divise 9 ; comme [tex]n>=m[/tex] le seul cas possible est n = 5.

- Pour m > 2, on va majorer le quotient (entier) de [tex]m^2 + n[/tex] par [tex]mn -1[/tex]
[tex]{{m^2 +n} \over {mn - 1} }= {{{m^2} \over {mn - 1}} + {{n} \over {mn - 1}}} <= {{{m^2} \over {m^2 - 1}} + {{n} \over {mn - 1}}} = {{{1} \over { 1 - {{1} \over m^2}}}} + {{1} \over {m -{ 1 \over n}}}}[/tex]
Or pour n >= m > 2, le premier terme est majoré par 9/8 et le second par 3/8, donc ce quotient entier est plus petit que 3/2. Il vaut donc 1.

- On a alors [tex]m^2 + n = mn -1[/tex], ce qui revient à [tex]n = m + 1 + {2 \over {m-1}}[/tex] d'où enfin m-1 divise 2, soit m = 3 (car m > 2)

Merci pour avoir signalé ce problème.
Penser que de jeunes concurrents aient su le résoudre en temps limité donne des frissons dans le dos: imaginer leurs capacités...
J'y ai moi passé (fort agréablement) plusieurs heures (et encore je n'ai pas eu à passer par la phase 'expérimentation')

Philippe

Bonsoir,
concernant l'équation 1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2, voici un plan de solution (beaucoup de détails ommis):
- on repart de la forme 2^x(1+2^(x+1)) = (y-1)(y+1) (*)
- posant y - 1 = 2^p y' et y +1 = 2^q y'' (p et q >= 1 car y impair) et r = min(p,q). Alors 2^r divise 2 donc r = 1.
- on a donc soit y - 1 = 2^{x-1} y' ou bien y + 1 = 2^{x-1} y'  avec y' impair.
- dans aucun des deux cas, y' = 1 est possible
- si on est dans le cas y - 1 = 2^{x-1} y', (*) devient 1 +2^(x+1) = y' ( 2^(x-2)y' +1) > 2^(x-2)y'^2 donc
y'^2 < 1/2^(x-2) + 2^3 < 9 pour x > 2 donc y' < 3; or y' impair, distinct de 1. Impossible
- si on est dans le cas y + 1 = 2^{x-1} y', on montre dans ce cas que y' < 4 (y' est une racine du trinome en y  2^(x-2) y'^2 - y' -1 - 2(x+1)) donc y' = 3
- en substituant y+1 par 3.2^(x-1) dans (*), on trouve que x = 4.

C'est sommaire, mais je crois que c'est correct.