Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci pour vos réponse et votre patience.

J'ai résolu mon problème, voilà la solution que j'y apporte.

Dans le sens mathématique usuel, une propriété de la forme « Si A alors B » est vraie lorsque A « implique » B, c'est-à-dire lorsque « il y a une démonstration  qui mène de A à B».
On note alors parfois cela de façon usuelle : « A => B » le symbole « => » représentant alors le raisonnement valable (ou le chemin) qui mène de A à B.

Par exemple :
« x>2 => x^2>4 » où  => remplace le raisonnement valable (ou le chemin) ci-dessous :
x>2 => x-2>0 => (x-2)(x+2)>0 => x^2-4>0 => x^2>4

Maintenant,
Choisissons un x : x=5
l'hypothèse (5>2) étant vraie et le raisonnement étant valable, la conclusion (5^2>4) sera vraie.
5>2 => 5^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement mène bien à 5^2>4

5>2 => 5^2<4 (ou tout autre conclusion fausse) est « faux » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement ne mène pas à 5^2<4

Pour x=-3
l'hypothèse (-3>2) est fausse, mais le même raisonnement toujours valable mène à (-3)^2>4 qui est vraie.
-3>2 => (-3)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -3>2 le raisonnement mène bien à (-3)^2>4

Pour x=-1
l'hypothèse (-1>2) est fausse, le même raisonnement toujours valable mène à (-1)^2>4 qui est fausse.
-1>2 => (-1)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -1>2 le raisonnement mène bien à (-1)^2>4

Maintenant en logique :
Le symbole => est uniquement un connecteur, et pas toujours un raisonnement valable.
« Faux => P » , ne signifie pas forcément qu'il existe un raisonnement qui mène de Faux à P, dire « Faux implique P » au sens usuel est abusif !

La logique se passe d'une démonstration systématique et décrète : « Faux implique P » est toujours Vrai, c'est donc un axiome (ou une convention si on veut).
Donc la table de vérité logique de l'implication A => B (au sens du connecteur) est définie en reprenant le sens usuel (pour les deux premiers cas) et en appliquant l'axiome précédent (pour les deux derniers) :

A  |  B  |  A=>B
1      1       1
1      0       0
0      1       1
0      0       1

Et c'est la même table que « nonA ou B » donc on peut définir A=>B comme « nonA ou B ».

Donc en logique : 2=50 => pi=92,5 est vrai ne signifie pas "il existe une démonstration" qui mène de 2=50 à pi=92,5. Ça veut juste que si à un moment donné on a 2=50 et pi=92,5 alors on s'autorise par l'axiome (ou par convention)  de passer de l'un à l'autre.

Ce dernier exemple nous montre que, "A=>B est vrai" en logique n'est pas toujours chargé de sens, ça signifie juste le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable (voilà j'ai trouvé des mots pour remplacer vrai) par axiome (ou par convention) comme dans un circuit électronique ou un programme informatique.
Mais ça n'est pas toujours le vrai mathématique usuel.

Donc, au sens usuel A=>B est :
vraie : signifie « il existe une démonstration »
fausse : signifie « il existe un contre-exemple »
et parfois ni l'un ni l'autre

Et, au sens logique A=>B est :
vrai : signifie « le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable (et parfois par axiome ou convention) »
faux : signifie « le passage de l'un à l'autre n'est pas autorisé ou valable »
et il n'y a aucune autre alternative

Fin.