Forum de mathématiques - Bibm@th.net

2)b) [tex]Nous\,savons\,que\,1\in A,\,et\,A\,stable\,par\,x[/tex]

       -) [tex]\forall s\in G\,On\,choisit\,x=1\in A\,\,On\,a\,s1{s}^{-1}=s{s}^{-1}=1\in G\,\,\,Don\,1\,\in sA{s}^{-1}[/tex]

         [tex]Donc\,sA{s}^{-1}\,non\,vide[/tex]

      -) [tex]\forall \left(x,y\right)\in s{As}^{-1}\,\,On\,a\,sx{s}^{-1}sy{s}^{-1}=s\left(xy\right){s}^{-1}\in sA{s}^{-1}[/tex]
   
          [tex]Donc\,sA{s}^{-1}\,Stable\,par\,x[/tex]

      -) Comme A supposé sous-groupe de G, A contient les symétrique de ses éléments;

        [tex]On\,a\,{x}^{-1}\in A\,\,\,et\,s{x}^{-1}{s}^{-1}\in G\,\,\,Donc\,sA{s}^{-1}\,Contient\,les\,symétriques\,de\,ses\,éléments[/tex]

Pouvez vous me dire si mes réponses aux questions 3), 4)b), 4)c)  sont valides ?

Merci, c'est clair pour moi maintenant.

Pour la 2)b)

On suppose A sous-groupe de G, donc :-) [tex]1\in A[/tex]
                                                         -) A est stable par x et contient les symétriques de ses éléments

-) [tex]sA{s}^{-1}[/tex] est il un sous-groupe de G ?

              -) [tex]1\in sA{s}^{-1}[/tex] (en prenant [tex]x=1\in A[/tex]  )
              -) stable par la loi de composition x et contient les symétriques de ses éléments (c'est ici que je bute, une démonstration est-elle nécessaire ?)

Bonsoir,

Voila ce que j'ai fait pour le moment:

1)a) -)[tex]\forall[/tex] x de G                x1=x=1x         Donc Z(G) non vide et 1 appartient a Z(G)

       -) Z(G) stable par x
   
       -) Z(G) contient les symétriques de ses éléments.

//J'ai essayé de démontrer ces deux derniers points mais j'ai échoué, il faudra que je revienne sur cette question//

b) [tex]\forall[/tex] x de Z(G), [tex]\forall[/tex] s de G, [tex]sxs^{-1}=ss^{-1}x=1x=x[/tex] appartient à Z(G)

2)a) Il faut démontrer que la relation est transitive, réflexive et symétrique. J'ai comme précédemment tenter les démonstrations mais je n'ai rien trouvé de probant.

b) Je ne vois pas trop

3) [tex]\forall[/tex](x,y) de G²,
           [tex]fs(xy)=sxys^{-1}=(sxs^{-1})(sys^{-1})=fs(x)fs(y)[/tex]

Donc il s'agit d'un morphisme bijectif

4)a)A faire

b)[tex]\forall[/tex] x de G,

             [tex]fs o fs'(x)=ss'xs'^{-1}s^{-1}=fss'(x)[/tex]

Donc [tex]\phi[/tex] est un morphisme surjectif

c) Ker[tex]\phi[/tex] est l'ensemble des éléments s de G tel que fs=IdG. Comme Z(G) est le centre de G on a Ker[tex]\phi[/tex]=Z(G).