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Bonjour,

J'ai décidé de me tourner vers vous concernant une propriété que j'ai remarqué il y a plusieurs mois déjà.
Je m'intéresse à l'ensemble Z/nZ ( n entier non nul ) et à ses inversibles.
Je tiens à préciser que je n'ai plus vraiment fait de maths depuis 7-8 ans, veuillez pardonner mes approximations...

J'ai remarqué que si l'on pose n=dd' avec PGCD(d,d')=1 (ce qui est toujours faisable), alors les nombres n et r sont premiers entre eux si et seulement si r est de la forme : r=k'd+d'k avec PGCD(d,k)=PGCD(d',k')=1.
Il se crée alors des symétries autour des diviseurs de n.
Par exemple, sur le nombre $\n=30=2*3*5$, je peux écrire que les nombres premiers avec 30 sont de la forme :

15k+2k' avec PGCD(2,k)=PGCD(15,k')=1 ou encore 10k+3k' avec PGCD(3,k)=PGCD(10,k')=1 ou encore 6k+5k' avec PGCD(5,k)=PGCD(6,k')=1.   
Peu importe la forme que je choisis, je récupère tous les nombres premiers avec 30 de cette façon. On note $\phi$ l'indicatrice d'Euler qui détermine le nombre de nombres premiers avec n entre 1 et n.

Si on se place sur [0,30], on a une symétrie évidente en 15 ( 15+2k premier avec 30 implique 15-2k premier avec 30 ) : on récupère tous les nombres premiers avec 30 avec un axe de symétrie en 15.
(en fait on a $\phi$(2)=1 et $\phi$(15)=8=$\phi$(30) . Donc on a $\phi(2)*\phi(15)=1*8=\phi(30)$ nombres premiers avec 30)
Mais on a aussi 2 symétries en utilisant la forme 10k+3k' : une en 10 (k=1 premier avec 3) et une en 20 (k=2 premier avec 3).
En utilisant la symétrie en 10 je vais récupérer la moitié des nombres premiers avec 30 ( et donc sur [0,30] j'en récupère 4 qui sont 1,7,13,19) et en 20 j'ai l'autre moitié (11,17,23,29)).
Je peux faire pareil en utilisant la forme 5k+6k' qui me donnera 4 axes dont chacun permet de récupérer 1/4 des nombres premiers avec 30  ( et donc sur [0,30] chaque axe me donne 2 nombres premiers avec 30).

Si on pose $n=p_1^{\alpha_1} * ....* p_k^{\alpha_k}$ (avec $\alpha_i $ entier alors on peut déduire de la formule r=k'd+d'k que $r=n*\sum_{i=1}^k k_i/p_i^{\alpha_i}$
avec PGCD$(k_i,p_i^{\alpha_i})=1$.

On peut aussi écrire quelque chose de semblable avec les nombres qui ne sont pas premiers avec n (la somme est la même mais on dit qu'il existe au moins un $k_i$ tel que PGCD$(k_i,p_i^{\alpha_i})$ soit différent de 1).
De cette façon, j'ai écris tous les nombres premiers ou non avec n et je définis 2 ensembles qui sont disjoints (l'un ou PGCD$(k_i,p_i^{\alpha_i})=1$ pour tout i allant de 1 à k, donc l'ensemble des premiers avec n, et l'autre ou il existe au moins un $k_i$ tel que PGCD$(k_i,p_i^{\alpha_i})$ soit différent de 1, l'ensemble des nombres qui ne sont pas premiers avec n.)

On peut aussi en déduire un algorithme assez simple nous fournissant la liste des nombres premiers :

on pose $n=2*3*5*7*...*p_j$. Le plus petit entier premier avec n qui est strictement supérieur à 1 est $p_{j+1}$. D'après ma formule, je peux dire que tous les nombres premiers avec n sont atteints en n/2+2q avec q premier avec n/2. Donc $p_{j+1}=n/2+2q$. ($p_{j+1}$ est un nombre premier avec n). Reste à déterminer q, q premier avec n/2. Je m'intéresse au nombre $b=(1-n/2)/2$. b est premier avec n/2 car :
$n/2 + 2*((1-n/2)/2)=n/2+1-n/2=1$ ( donc d'après Bézout b et n/2 sont premiers entre eux).
Maintenant l'application f qui va de l'ensemble des nombres premiers avec n/2 dans l'ensemble des nombres premiers avec n et qui à q associe f(q)=n/2+2q est bijective (et elle strictement croissante ) et on a f(b)=1. Donc le plus petit entier q' premier avec n/2,  avec q' >b, nous donnera le plus petit entier p premier avec n, avec p>f(b)=1, donc $p_{j+1}$. On peut peut donc écrire $p_{j+1}=n/2+2q$ avec
q = min { r premier avec n/2, r >b }.

Concrètement ( sur 3 exemples car on y voit  de plus en plus clair ) :

n=$p_1$=2. Je cherche $b=(1-n/2)/2=(1-1)/2=0$. ( on a bien $n/2+2b=1+2*0=1$ ). Maintenant je cherche le plus petit entier q supérieur à b=0 qui est premier avec n/2=1. Je teste pour q=1 : 1 est premier avec n/2=1, donc $p_2=n/2+2q=1+2*1=3$.

J'ai trouvé $p_2$. Maintenant je pose $n=p_1 * p_2 =2*3=6$ et je recommence le même processus.
n=6, $b=(1-n/2)/2=(1-3)/2=-1$. ( on a bien $n/2+2b=3+2*(-1)=1$). Je cherche le plus petit entier q supérieur à b=-1 qui est premier avec n/2=3.
Je teste q=0 : 0 n'est pas premier avec 3 ( 3/0 et 3/3). Donc je teste q=1 : 1 est premier avec 3 donc $p_3=n/2+2*q=3+2*1=5$.

J'ai trouvé $p_3$. Maintenant je pose $n=p_1 * p_2 * p_3 =2*3*5=30$ et je recommence le même processus.
n=30, $b=(1-n/2)/2=(1-15)/2=-7$. ( on a bien $n/2+2b=15+2*(-7)=1$). Je cherche le plus petit entier q supérieur à b=-7 qui est premier avec n/2=15.
Je teste q=-6 : -6 n'est pas premier avec 15 ( 3/-6 et 3/15). Donc je teste q=-5 : -5 n'est pas premier avec 15 ( 5/-5 et 5/15). Donc je teste q=-4 : -4 est premier avec 15 donc $p_4=n/2+2*q=15+2*(-4)=7$.

Et ainsi de suite.
Voila, je suis resté un peu perplexe quand j'ai remarqué ces propriétés, pour moi (c'est un avis personnel), c'est un résultat assez important (je me suis toujours demandé si on pouvait exprimer $p_{j+1}$ en fonction des j précédents nombres premiers, et j'ai trouvé ma réponse la dedans.)

Alors pourquoi je n'ai jamais entendu parler de ces propriétés précédemment ? Est-ce spécialisé et donc on en parle pas dans un cursus universitaire classique ? Ou alors c'est inutile donc on n'en parle pas ? (ca me permet quand même d'exprimer $p_{j+1}$, je ne pense pas que ce soit si inutile que ca ...) ou alors personne n'a remarqué cela auparavant, dans ce cas la je serai vraiment chanceux car c'est assez visible selon moi.

Je suis nouveau sur Bibmath (je me suis inscris pour me remettre à niveau en mathématiques et utiliser la banque d'exercices/sujets de Capes afin de préparer ce concours pour l'année prochaine). J'ai cependant par moments parcourus diverses discussions et j'ai pu me rendre compte que certains d'entre vous avaient un excellent niveau en mathématiques ainsi qu'une grande culture. Je ne cherche pas à avoir la démonstration de ces résultats (sauf erreur de ma part je les ai déjà prouvés).

Peut-être pourrez vous m'indiquer quelques liens/sites sur lesquels je pourrais en apprendre plus concernant ce que j'ai remarqué. J'ai déjà cherché sur le net (j'ai essayé de retrouver mon résultat dans les cours d'arithmétique, algèbre mais sans succès). Peut-être que je n'ai fait que reformuler des résultats déjà établis sans m'en rendre compte, c'est possible mais dans ce cas la je ne m'en suis pas aperçu.
J'espère que vous pourrez m'éclairer sur ce sujet.

Merci d'avance de m'avoir lu et bonne journée.