Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,

Voici un petit exercice que je me suis proposé dans le but de vérifier mes acquis sur les hyperplans. J'attends  une critique de la rédaction, car je la veux la plus précise possible.

Soit E=$\mathbb{R}^{3}$ et H$_{1}\,=\, \{(x,y,z) \, \in \, \mathbb{R}^{3}\;|\;  x+y+z=0 \}$, alors H$_{1}$ est un hyperplan de E. D'après le cours c'est plan vectoriel de dimension 2 et d'équation $x+y+z=0$. Il reste à déterminer la base de H$_{1}$.

Dans l'équation $x+y+z=0$ on choisit arbitrairement d'exprimer $z$ en fonction de $x$ et $y$ ce qui donne $z=-(x+y)$. Dans la base $B_{E}=\{ e_{1},e_{2},e_{3}\}$ le vecteur est
\[ u =
x e_{1}+y e_{2}-(x+y) e_{3}\]

Peut-on décomposer $   u   $   de la façon suivante

\[u  \; =\; \hspace{6mm} xe_{1}+y e_{2} \qquad  - \qquad   (x+y) e_{3}\]

\vspace{-1mm}  \hspace{38mm}$\underbrace{ Plan \quad vectoriel }_{généré \;par\; \{e_{1}, e_{2}\} }$\hspace{9mm}$\underbrace{ Droite \;\;\alpha  e_{3} } $

Merci pour les réponses à venir.

PS : Désolé  la commande latex \underbrace n'est pas prise en visualisation.

Bonjour à tous les participants de bim@th,
Dans l'étude des hyperplans en dimension finie je n'ai jamais vu cette question que je me suis posée.
Soit E= $ \mathbb{R}^{3}$ et  $\mathcal{B}=\{ \textbf{e}_{1}, \textbf{e}_{2}, \textbf{e}_{3} \}$ sa base.
Soit e$^{*}$ le dual de E et   $\mathcal{B}^{*}=\{ \textbf{e}_{1}^{*}, \textbf{e}_{2}^{*}, \textbf{e}_{3}^{*} \}$ sa base duale.
Soit $f^{*}$ une forme linéaire obtenue par combinaison des vecteurs de $\mathcal{B}^{*}$:
$$  f^{*}= \alpha \textbf{e}_{1}^{*} + \beta \textbf{e}_{2}^{*} + \gamma \textbf{e}_{3}^{*}   $$

Déterminer l'équation de l'hyperplan H=ker($f^{*})$.

Commentaires
Pour E=$ \mathbb{R}^{3}$ on dim  H = dim ker($f^{*})$= 2 et E = H $\oplus$ Vect($\textbf{u})$  avec $\textbf{u}\notin $ ker $f^{*}$
On choisit H généré par $\{ \textbf{e}_{1}, \textbf{e}_{2} \}$ qui donne

E = H $\oplus$ Vect($\textbf{u})$ avec $\textbf{u}= \textbf{e}_{3}$  et  $\textbf{u}\notin $ ker $f^{*}$. 
qui donne pour $f^{*}$=0 et $ \textbf{x} = x_{1}\textbf{e}_{1} +x_{2} \textbf{e}_{2} + x_{3} \textbf{e}_{3}$

$$ f^{*}(\textbf{x}) =  \alpha x_{1} + \beta x_{2} + \gamma x_{3} =0 \quad et  \quad x_{3}=-\dfrac{\alpha x_{1}}{\gamma}-\dfrac{\beta x_{2}}{\gamma}$$

Mais rien n'interdit de prendre $\{ \textbf{e}_{1}, \textbf{e}_{3} \}$  comme base de H tel que $\textbf{u}\notin $ ker $f^{*}$  et $\textbf{u}=\textbf{e}_{2}$  et
$$ f^{*}(\textbf{x}) =  \alpha x_{1} + \beta x_{2} + \gamma x_{3} =0 \quad et  \quad x_{2}=-\dfrac{\alpha x_{1}}{\beta}-\dfrac{\gamma x_{3}}{\beta}$$

et pour finir de prendre $\{ \textbf{e}_{2}, \textbf{e}_{3} \}$  comme base de H tel que $\textbf{u}\notin $ ker $f^{*}$  et $\textbf{u}=\textbf{e}_{1}$  et
$$ f^{*}(\textbf{x}) =  \alpha x_{1} + \beta x_{2} + \gamma x_{3} =0 \quad et  \quad x_{1}=-\dfrac{\beta x_{2}}{\alpha}-\dfrac{\gamma x_{3}}{\alpha}$$.

Question : peut-on dire que pour résoudre cet exercice il faut fixer la base de H = ker $f^{*}$ il faut fixer la base de H dans $\mathcal{B}$ ?

Merci d'avance à ceux qui me donneront un commentaire.

danielrené

Bonjour à tous ceux que cette question intéresse et merci d'avance.

J'arrive à  montrer que la signature de n permutations à cycles disjoints est égale aux produits des signatures des permutations élémentaires
[ tex] \[ \varepsilon(\sigma_{n}\circ \dots  \circ \sigma_{2} \circ \sigma_{1}) \;=\;  \varepsilon(\sigma_{n}) \dots   \varepsilon(\sigma_{2})  \varepsilon(\sigma_{1}) \]  [ /tex]

Ceci est-il vrai lorsque les cycles sont disjoints?

Merci d'avance à tous ceux qui sauront me répondre car je n'ai pas trouvé de réponse sur les forums.

Daniel-René

[tex][/tex]Bonjour à tout le monde,

Il y a quelques ambiguïtés  dans les écritures des applications multilinéaires alternées, et je voudrais avoir l'avis d'autres personnes.
Je donne ici l'énoncé d'un théorème fondamental relatif a ces applications qui est le suivant:
$Soit $ E $et$ F $ deux \; espaces \; vectoriels \; sur \;  le\;  même \;  corps\; $ K,    $avec \;$ dim  E = $n$. $Pour \; toute \; base \;\mathcal{B}=\{e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n} \} \;  de \; $E$et \; tout \; vecteur \; \textbf{k}  \; de \; $F, $\; il \; existe \; une \; unique \; application  \; multilinéaire  \; alternée \; f \; de \; $E$^{n} \;  dans \; $F $\; tel \; que $
$$   f(e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n})= \textbf{k}  $$
Première question concernant l'unicité de la solution.
Que vaut cette démonstration de l'unicité de la solution dont l'énoncé est le suivant:
Soit $f$ une application multilinéaire alternée et  $  \mathcal{B}=\{e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n} \} $ une base de E.
On suppose qu'il existe $ \textbf{k} $ et $ \textbf{k'} $ appartenant à F tel que
$$   f(e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n})= \textbf{k}  $$
$$    f(e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n})= \textbf{k'}  $$
Alors
$$ f(e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n}) - f(e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n}) = \textbf{k} - \textbf{k'}$$
$$                                                                                                        \textbf{0} = \textbf{k} - \textbf{k'}$$
Donc $\textbf{k} = \textbf{k'}$ d'où l'unicité.
Deuxième question.
La base $\mathcal{B}=\{e_{1}, \, e_{2}, \dots , \, e_{n} \} \;  de \; $ peut être quelconque. En général cette base est la base canonique. ce qui peut être un peu perturbant.
Merci pour les commentaires.