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Bonjour,

Dans une séance de cours, notre professeur nous lâche une petite bombe: [tex]\mathbb{R}[/tex] et P([tex]\mathbb{N}[/tex]) ont même puissance au sens de cardinalité. ça m'est paru étrange vu que je me suis plutôt habitué au [tex]\mathbb{R}[/tex] topologique "tout puissant" avec sa continuité, complétude, etc... et P([tex]\mathbb{N}[/tex]), bah ça reste des entiers et donc du discret. Bref, disons que ça a été suffisant pour attiser ma curiosité :p.

Dans une première approche, on peut remarquer que chaque réel possède une écriture décimale, soit un ensemble de couples [tex]\left(r,c\right)[/tex] avec [tex]r[/tex] le rang et [tex]c[/tex] chiffre (compris entre 1 et 9). Cependant il y a certaines problèmes qu'il faut surmonter:
1/ Une telle application va vers [tex]P(\mathbb{N}[/tex]x[(1,9)]), il faut donc se débarrasser de [tex]c[/tex] en réduisant l'intervalle de [tex]c[/tex] au minimum: On passe à l'écriture binaire.
2/La non-unicité du développement décimal: il suffit de prendre l'écriture minimale, qui quant à elle est unique.
3/[tex]r[/tex] est relatif: On raisonne sur une intervalle où r est positif vu que [tex]\mathbb{R}[/tex] est bijectable avec toute intervalle de [tex]\mathbb{R}[/tex].

Je vais donc raisonner seulement sur l'intervalle [0,1[ vu que [tex]\mathbb{R}[/tex] s'y ramène moyennant des inversions.
Soit donc: [tex]x\in [0,1[[/tex]
[tex]x=\sum^{\infty }_{i=1}{a}_{i}.{2}^{-i}[/tex]
Si [tex]x=0,{a}_{1}{a}_{2}...{a}_{i}1111...[/tex]
On prend: [tex]x=0,{a}_{1}{a}_{2}...{a}_{i}\,+\,{2}^{-i}[/tex]
Qui n'est autre que l'écriture minimale de [tex]x[/tex] (par analogie: 0,9=1)

On définit donc notre fonction:
[tex]f:\,\left[0,1\right[\rightarrow \mathbb{R}[/tex]
[tex]x\rightarrow[/tex] {[tex]i\in \mathbb{N}/{a}_{i}=1[/tex]}

Cette application est injective:
Pour [tex]x=\sum^{\infty }_{i=1}{a}_{i}.{2}^{-i}[/tex] et [tex]y=\sum^{\infty }_{i=1}{b}_{i}.{2}^{-i}[/tex]
[tex]f\left(x\right)=f\left(y\right)\,\Rightarrow \,\forall \,i\,\in \,\mathbb{N}\,{a}_{i}=1\,\Longleftrightarrow {b}_{i}=1[/tex] (le principe même d'une base).
Par contre-apposée:
[tex]\forall i\in \mathbb{N},\,{a}_{i}=0\,\Longleftrightarrow \,{b}_{i}=0[/tex]
Donc:
[tex]\forall i\in \mathbb{N},\,{a}_{i}={b}_{i}[/tex]
Donc: [tex]x=y[/tex]

L'application est aussi surjective:
Pour [tex]E=[/tex]{[tex]{i}_{1},{i}_{2},...,{i}_{card\left(E\right)}[/tex]}[tex]\in \mathbb{N}[/tex]
[tex]x=\sum^{card\left(E\right)}_{k=1}{2}^{{-i}_{k}}[/tex] est un antécédent de [tex]E[/tex].

L'application est donc bel et bien bijective.
[tex]\mathbb{R}[/tex] et P([tex]\mathbb{N}[/tex]) ont donc même puissance au sens de cardinalité.

Place maintenant aux questions:
1/Le charabia que j'ai écrit est-il compréhensible?
2/Si oui, est-il correct?
3/Puisque [tex]\mathbb{R}[/tex] est "un cran" supérieur à [tex]\mathbb{N}[/tex] au sens de puissance, est-ce-que on a plus généralement pour tout ensemble infini [tex]E[/tex],  [tex]ord\left(P\left(E\right)\right)=ord\left(E\right)+1[/tex]?
4/Peut-on de même exhiber une bijection entre  [tex]\mathbb{R}[/tex] et [tex]\mathcal{I}\left(\mathbb{R}\right)[/tex], l'ensemble des fonctions continues sur [tex]\mathbb{R}[/tex], parce que [tex]\mathbb{R}[/tex] et P([tex]\mathbb{N}[/tex]), ça va un peu, mais de là à réduire toute une fonction en un réel...
Merci d'avance.

PS: Sacrée gymnastique avec ce LaTex...