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#1 Re : Entraide (supérieur) » Norme d'opérateur » 21-10-2020 15:00:08
Voici une manière de répondre à l'exercice.
L'idée principale est de calculer l'adjoint de l'opérateur, afin de montrer que l'opérateur est auto-adjoint.
De là on a un théorème qui nous dit que le rayon spectral de T est égal à la norme de T, donc on calcule les valeurs propres.
1) Les calculs sont "directs" pour montrer que l'opérateur est auto-adjoint.
2) Les valeurs propres sont [tex]\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex] et [tex]\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex], donc le rayon spectral est [tex]\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex].
Ainsi, par le théorème énoncé précedemment, on a [tex]\mid \mid T \mid \mid = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex].
#2 Re : Entraide (supérieur) » Norme d'opérateur » 13-10-2020 13:10:31
Bonjour,
Merci beaucoup d'avoir pris le temps pour y réfléchir.
Je vais regarder plus en détail ce que vous avez écrit.
Si il y a une solution plus "directe", je la communiquerai sous ce post par la suite, on sait jamais, ça peut aider d'autres personnes qui tombent sur cet exercice et qui ne savent pas comment le résoudre.
Merci encore,
H
#3 Entraide (supérieur) » Norme d'opérateur » 11-10-2020 16:38:11
- manth
- Réponses : 5
Bonjour,
Je dois résoudre cet exercice :
Soit [tex]T[/tex] une application linéaire définie sur [tex]L^{2}([0,1])[/tex] telle que : $Tf(x)= \displaystyle{ \int^{1}_{0} (x+y)f(y) \mathop{dy}}, 0 \leq x \leq 1$.
Montrer que T est bornée et calculer [tex]\mid \mid T \mid \mid[/tex].
J'ai déjà fait la première partie de l'exercice et j'ai montré que [tex]\mid\mid T \mid\mid \leq \sqrt(\frac{7}{6})[/tex].
Pour la deuxième partie (calculer [tex]\mid\mid T \mid\mid[/tex]), j'essaye de trouver une fonction/ou suite de fonction telle que l'opérateur T appliqué a la limite (dans le cas de la suite de fonction) ou la fonction bien choisie, tende vers [tex]\sqrt(\frac{7}{6})[/tex].
J'en appelle donc à vos commentaires sur :
1) l'efficacité de ce raisonnement dans le cadre de l'exercice : est-ce que je passe à côté de quelque chose de plus "direct"?
2) d'éventuelles suggestions d'une telle fonction/suite de fonctions.
Merci par avance,
H
#4 Re : Entraide (supérieur) » Adhérence d'un ensemble » 29-09-2020 14:45:48
Je n'ai pas ça dans mon cours...
Mais je vais y réfléchir en détail pour comprendre.
Mille mercis !
H
#5 Entraide (supérieur) » Adhérence d'un ensemble » 28-09-2020 15:28:19
- manth
- Réponses : 2
Bonjour,
Dans un de mes exercices en Analyse Fonctionnelle, on définit :
[tex]E=\{x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ...) \in l^{2} : x_{k} \neq 0[/tex] pour un nombre fini de k[tex]\}[/tex] avec le produit scalaire usuel de [tex] l^{2}[/tex]
Ainsi que
[tex]M = \{x \in E : \sum_{n=1}^{\infty} x_{k} = 0\}[/tex].
On me demande de calculer l'adhérence de cet ensemble M.
Une question précédente était de calculer d'orthogonal de M (j'y ai répondu), si jamais ça peut être un point d'appui pour répondre à cette question.
Comment faudrait-il que je m'y prenne?
Cordialement
H
#6 Re : Entraide (supérieur) » Suite de Cauchy convergeant vers 0, tq max ne tend pas vers 0 » 20-09-2020 09:05:24
Bonjour Fred,
Merci pour votre réponse.
J'aimerais revenir sur quelques points dont vous avez parlé. Votre idée semble de montrer que la limite d'une certaine suite de fonctions de C^1([0,1]) n'appartient pas à C^1([0,1]).
Le calcul de || f_n - f || nous donne sqrt(1 + 1/n) - sqrt(1) qui tend évidemment vers 0. Donc la norme "permet" cette convergence. Dans mon esprit, le problème qui fait que cet espace n'est pas de Banach, était que c'était la norme qui empêchait au moment du calcul de || f_n - f|| d'obtenir une quantité qui tend vers 0 et donc d'obtenir la convergence.
Il semble donc que votre réponse soit axée plus sur "montrer que la limite n'appartient pas à l'espace". Et encore une fois, je ne perçois pas vraiment la différence avec le premier espace qui était (C^1([0,1]), ||.||) où ||f|| = max |f'(x)| + max |f(x)|.
En effet, si l'on considère cet espace et que l'on calcule ||f_n - f|| = max |f_n'(x) - f'(x)| + max |f_n(x) - f(x)|, cette limite tend bien vers 0. Et pourtant, la limite de cette suite n'est toujours pas differentiable et donc f n'appartient toujours pas à l'espace C^1([0,1]).
Ce que je veux dire par là en bref, c'est que je ne vois pas pourquoi ce que vous me conseillez de faire peut marcher sachant que la définition de votre suite de fonctions est indépendante de la norme qu'on utilise sur notre espace, et que j'ai bien l'impression que ce qui permet à un espace d'être Banach et ce qui empêche l'autre d'être Banach est bel et bien la norme utilisée.
Encore une fois merci pour votre temps, et je me permets de le re-préciser, cette notion est toute fraîche alors n'hésitez pas à me dire si j'ai mal compris l'essence du concept des espaces de Banach !
H
#7 Re : Entraide (supérieur) » Suite de Cauchy convergeant vers 0, tq max ne tend pas vers 0 » 19-09-2020 14:20:31
Bonjour, merci pour la réponse rapide.
Je ne suis pas sûr de voir pourquoi elle ne converge pas sur [0,1] : on a max |f_n(x)| = 1/n (en x=0) puisque c'est une fonction décroissante, mais à part ça en faisant tendre n, elle converge bien vers la fonction nulle sur [0,1]. Si je pose x |-> 0 la fonction identiquement nulle sur [0,1], on a :
|| f_n - f || = max | f_n - 0 | = 1/n et ce 1/n tend bien vers 0 lorsque l'on fait tendre n vers l'infini. Donc cette fonction converge dans (C^1([0,1]), ||.||)...
N'hésitez pas à me dire si je passe à côté de quelque chose : cette notion d'espace de Banach est toute fraîche dans mon esprit !
#8 Entraide (supérieur) » Suite de Cauchy convergeant vers 0, tq max ne tend pas vers 0 » 19-09-2020 10:36:14
- manth
- Réponses : 4
Bonjour,
Je dois montrer que l'espace (C^1([0,1]), ||.||) où ||f|| = max |f(x)| pour tout x dans [0,1] n'est pas un espace de Banach.
Dans une question préalable j'ai montré que l'espace (C^1([0,1]), ||.||) où ||f|| = max |f'(x)| + max |f(x)| pour tout x dans [0,1] est un espace de Banach.
Donc le problème vient de la norme utilisée.
Une piste que j'ai pour montrer que ce n'est pas un espace de Banach serait de trouver une suite de fonctions qui soit dans (C^1([0,1]), ||.||) qui soit de Cauchy, mais telle que le max |f_n(x) - f(x)| pour x dans [0,1] ne tende pas vers 0.
Je me creuse le cerveau depuis ce matin pour trouver une telle suite de fonction mais je me demande si c'est bel et bien possible.
Pourriez-vous m'indiquer s'il existe une telle suite de fonctions ou si j'ai mal réfléchis au problème ?
Merci encore pour votre aide !
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