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#1 Re : Café mathématique » Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus » 18-02-2009 14:54:30
Bonjour titus et yoshi.
Il me semble qu'il y a une erreur dans le raisonement de titus : Si on note t_n le "taux" de nombres entiers x qui, aprés moins de n étapes (de sa formule) donnent un résultat inférieur a x alors, montrer que t_n tend vers 0 ne prouve pas
du tout que tout entier x fini par donner (en itérant la formule) un entier inférieur à x. (le "taux" de nombres premiers entre 1 et N tend vers 0 lorsque N tend vers l'infini et cela ne prouve évidement pas qu'il n'y a pas de nombres premiers).
En fait, si on note A_k l'ensemble des nombres impairs m entre 1 et 2^k tels que, pour tout x entier SUPERIEUR OU EGAL A à 2 et congru à m modulo 2^k on ait f(x) ou f(f(x)) ou ... ou f^(k-1)(x) inférieur à x, on a :
A_{k+1} contient au moins la réunion de A_k et de 2^k+A_k
A_2={1} car, si x=4k+1 avec k>0 alors f(x) = (3x+1)/2^? = (3k+1)/2^? < x
mais, si x=4k+3 avec k>=0 alors f(x) = (3x+1)/2^? = 6k+5 > x
A_3={1, 5=4+1} car f(f(8k+3)) = f(12k+5) = (36k+16)/2^? = (9k+4)/2^? qui est des fois >8k+3 (si k impair)
et f(f(8k+7)) = f(12k+11) = (36k+34)/2^? = 18k+17 > 8k+7
A_4={1, 3, 5, 9=8+1, 13=8+5} car
f(f(16k+3)) = (18k+4)/2^? = 9k+2 < 16k+3
f(f(f(16k+7))) = f(36k+17) = (108k+52)/2^? = 27k+13 > 16k+7
f(f(f(16k+11))) = f(18k+13) = (54k+40)/2^? = (27k+20)/2^? qui est des fois > 16k+11 (si k impair)
f(f(f(16k+15))) = f(36k+35) = (108k+106)/2^? = 54k+53 > 16k+15
ETC...
Il me semble que, ce que montre titus est que :
card(A_K) / card( nombres imairs entre 1 et 2^k ) tend vers 1 lorsque k tend vers l'infini.
C'est VRAI, mais cela NE PROUVE PAS que tout entier x fini par donner un nombre < x.
Pour cela, il faudrait montrer que, si on note x_k le plus petit entier impair n'appartenant pas à A_k
(i.e. x_2=3 ; x_3=3; x_4=7; ..) la suite x_k tend vers l'infini...
Amicalement
#2 Re : Entraide (supérieur) » Espace tangent 2! [Résolu] » 18-02-2009 12:45:57
Il me semble que, quand tu écrit "et on essaye de vérifier si ...", il y a une erreur dans le terme de gauche :
vu la définition des "classes" pour les vecteurs, il ne faut pas appliquer la différentielle au vecteur v mais au vecteur v' de ta définition ci dessus. Normalement, le résultat "coule de source", c'est à dire ne provient que des formules de différentiations des fonctions composées.
#3 Re : Entraide (supérieur) » operateur O + ... » 18-02-2009 12:30:04
Bonjour,
Les symboles [tex] O(X) [/tex] "grand o de X" et [tex] o(C) [/tex] "petit o de X" sont trés souvent utilisés dans les calculs d'approximations
=> [tex] O(X)[/tex]désigne toute fonction de X telle que la fonction [tex]{O(X)\over X} [/tex] RESTE BORNEE
=> [tex] o(X)[/tex]désigne toute fonction de X telle que la fonction [tex]{o(X)\over X} [/tex] TENDE VERS ZERO
EXEMPLE :
On sait que : [tex] (1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5[/tex]
Lorsque [tex]x\rightarrow 0 [/tex], on a le droit d'écrire :
[tex](1+x)^5=1+5x+O(x^2) [/tex] car [tex]{10x^2+10x^3+5x^4+x^5\over x^2} [/tex] reste borné lorsque [tex]x\rightarrow 0 [/tex]
ou bien [tex](1+x)^5=1+5x+o(x) [/tex] car [tex]{10x^2+10x^3+5x^4+x^5\over x} [/tex] tend vers zéro lorsque [tex]x\rightarrow 0 [/tex]
ou bien [tex](1+x)^5=1+5x+10x^2+O(x^3) [/tex] car [tex]{10x^3+5x^4+x^5\over x^3} [/tex] reste borné lorsque [tex]x\rightarrow 0 [/tex]
ou bien [tex](1+x)^5=1+5x+10x^2+o(x^2) [/tex] car [tex]{10x^3+5x^4+x^5\over x^2} [/tex] tend vers zéro lorsque [tex]x\rightarrow 0 [/tex]
Lorsque [tex]x\rightarrow\infty [/tex], on a le droit d'écrire :
[tex](1+x)^5=x^5+5x^4+10x^3+O(x^2) [/tex] car [tex]{10x^2+5x+1\over x^2} [/tex] reste borné lorsque [tex]x\rightarrow \infty [/tex]
ou bien [tex](1+x)^5=x^5+5x^4+10x^3+o(x^3) [/tex] car [tex]{10x^2+5x+1\over x^3} [/tex] tend vers zéro lorsque [tex]x\rightarrow \infty [/tex]
Dans ton texte, [tex] O(x_{min}^{-2})[/tex] désigne donc une certaine fonction dépendant de $x_{min}$ (et sans doute de [tex]\alpha[/tex]) telle que, si on la divise par [tex]x_{min}^{-2}[/tex], le résultat reste borné lorsque [tex] x_{\min}[/tex] tend vers une certaine valeur. Vu le contexte, je pense que c'est lorsque [tex]x_{min}\rightarrow\infty[/tex] mais dans une redaction "propre", CELA DEVRAIT ABSOLUMENT ETRE PRECISE lorsque l'on utilise les notations "grand o" ou "petit o".
Ton texte devrait aussi préciser ou sont [tex]x_{min}[/tex] et [tex]\alpha[/tex] : au vu de la première ligne, je pense que [tex]x_{min}[/tex] est un réel strictement supérieur à 1/2 et [tex]\alpha[/tex] un réel strictement plus grand que 1.
Or, dans ce contexte, je ne vois pas ce que peut signifier dans la deuxième ligne une somme pour [tex]x[/tex] variant de [tex]x_{min}[/tex] à [tex]\infty[/tex]... ton [tex]x_{min}[\tex] est-il entier ? (si oui, je ne vois pas plus loin comment tu peut dériver par rapport à une variable entière...)
[tex] [/tex]
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