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Je ne sais pas si ma démonstration va t'aider. Tu cherches en fait à démontrer que le minima de la fonction 1/xy vaut 16 quand on évalue cette fonction sur la courbe C d'équation R(x)+R(Y)=1.
Ou bien que le maximum de la fonction f(x,y) = R(xy) vaut 1/4 sur la courbe C.

Or, on peut déjà remarquer que pour x=y = 1/4, on a bien 1/xy = 16.
Ensuite, c'est une histoire de calcul différentiel :
- sur la courbe C, les dx et dy respectent la condition : dx/R(x) + dy/(R(y) = 0, d'où dx en fonction de dy
- la différentielle de f vaut : 2df = R(y/x)dx + R(x/y)dy
Tu remplaces un dx par un dy et tu montres que df vaut 0 pour x = y, qui ne peut donc valoir que 1/4
CqFD