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#1 Re : Entraide (collège-lycée) » Démonstration à faire » 28-06-2020 20:26:23

Bonsoir Italbi et merci beaucoup pour ton aide
mais quand tu dis que tu projettes les vecteurs sur une droite , tu traces des lignes perpendiculaires pour chaque vecteur ?

#3 Re : Entraide (collège-lycée) » Démonstration à faire » 28-06-2020 18:23:37

j'ai rectifié pour le triangle BAC rectangle en B et pas en C
et aussi pour le triangle HAC rectangle en H

#4 Re : Entraide (collège-lycée) » Démonstration à faire » 28-06-2020 18:15:46

Bonjour et merci de m'avoir répondu
1. dans le triangle  HAC  rectangle en H, le cosinus de l'angle $\widehat{HAC} $ est égal à coté adjacent /hypoténuse = AH/AB
2. et dans le triangle ABC rectangle en C rectangle en B, le cosinus de l'angle $\widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC}$
3. je dis que les deux cosinus sont égaux
4. et en écrivant la formule du produit scalaire , le AB qui est au dénominateur s'élimine avec le AB

#5 Entraide (collège-lycée) » Démonstration à faire » 28-06-2020 17:01:25

yannD
Réponses : 12

Bonjour , voici deux propriétés des produits scalaires avec les projetés orthogonaux
Soient A,B et C trois points et $H$ le projeté de $C$ sur la droite $(AB)$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$ Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de même sens

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$ Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de sens contraires

Je pense avoir réussi à voir démontrer la 1ère mais je n'arrive pas à trouver le -AB pour la 2e
Pouvez-vous me donner un "petit" indice , s'il vous plait ?

#6 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 25-06-2020 18:56:56

on a aussi fait des exercices où il fallait résoudre des équations comme celle - là : $\cos(\alpha) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ sur $[-\pi\,;\,\pi]$
en traçant la droite d'équation $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et en relevant les points d'intersection entre la droite et le cercle trigonométrique

#7 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 25-06-2020 17:16:38

et bien , le Dm que j'ai fait avec toi pendant le confinement, c'était avec le calcul mais en Physique, on est en train de voir des problèmes qui font intervenir la trigonométrie et le produit scalaire et c'est bien plus difficile à résoudre

#9 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 24-06-2020 17:52:16

on a repris les cours sur le chapitre des produits scalaires

#10 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 24-06-2020 17:49:34

salut, il faudrait que je fasse des exercices avec les projetés orthogonaux

#11 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 24-06-2020 15:11:03

Bonjour Yoshi, il y a la partie II à. finir

2. Dans l'intervalle $[-\pi\,;\,\pi]$
   $x=\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2}$
   * k = 0  -->  $x=\dfrac{\pi}{12}$

   * k = 1  -->  $x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{7\pi}{12}$
 
   * k = 2. -->  $x=\dfrac{\pi}{12}+ \pi = \dfrac{13\pi}{12}$
 
   on ne peut pas aller plus loin , avec k = 2, on dépasse $\pi$

  $\dfrac{13\pi}{12} > \pi $  donc $\dfrac{13\pi}{12}\not\in [-\pi\,;\,\pi]$
 
maintenant avec les valeurs négatives :
   * k = -1 --> $x=\dfrac{\pi}{12} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{5\pi}{12}$

   * k = -2. --> $ x=\dfrac{\pi}{12}- \pi = -\dfrac{11\pi}{12}$

A partir de k = -3, on ne peut aller plus loin , en effet :

   * k = -3. --> $ x=-\dfrac{11\pi}{12}  = \dfrac{\pi}{12} - \dfrac{18\pi}{12} = - \dfrac{17\pi}{12}$

$-\dfrac{17\pi}{12} > -\pi $ donc $-\dfrac{17\pi}{12} \not\in[-\pi\,,\,\pi]$


                  $S=\left \{ -\dfrac{11\pi}{12}, -\dfrac{5\pi}{12},\, \dfrac{\pi}{12}, \,\dfrac{7\pi}{12},\right \}$


2. $x= \dfrac{2\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{2}$
 
    * k = 0  --> $x=\dfrac{\pi}{6}$

    * k = 1  --> $x=\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3}$

On ne peut aller plus loin , avec k = 2, on dépasse $\pi$
    * k = 2  --> $x=\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{6\pi}{6} =  \dfrac{7\pi}{6}$

et $ \dfrac{7\pi}{6} \not\in [-\pi\,;\,\pi]$

                 

                         $S=\left \{ -\dfrac{11\pi}{12}, -\dfrac{5\pi}{12}\;,\, \dfrac{\pi}{12}\;, \,\dfrac{\pi}{6}\;,\, \dfrac{7\pi}{12},\, \dfrac{2\pi}{3}\right \}$

#12 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 23-06-2020 17:16:47

$x=\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2}$

k=-1 --> $\dfrac{\pi}{12} - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{12} - \dfrac{6\pi}{12}   = -\dfrac{5\pi}{12}$

$-\dfrac{11\pi}{12} \not\in [0\,;\,2\pi]$

#13 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 23-06-2020 16:15:04

Bonjour Yoshi, merci de m'avoir répondu si tard, j'ai fait le début en détaillant peut-être un peu trop

$\sin(4x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}4x&=\dfrac{\pi}{3}+k\times2\pi\\4x&=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k\times2\pi\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}x&=\dfrac{\pi}{12}+k\times\dfrac{\pi}{2}\\x&=\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}}{4}+k\times\dfrac{\pi}{2}\end{cases}$

                                                                               $\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}x&=\dfrac{\pi}{12}+k\times\dfrac{\pi}{2}\\x&=\dfrac{2\pi}{12}+k\times\dfrac{\pi}{2}\end{cases}$

1. $x=\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2}$

   * k = 0  -->  $x=\dfrac{\pi}{12}$

   * k = 1  --> $x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{12}+\dfrac{6\pi}{12} = \dfrac{7\pi}{12}$

   * k = 2  --> $ x= \dfrac{\pi}{12}+\pi = \dfrac{\pi}{12}+ \dfrac{12\pi}{12} = \dfrac{13\pi}{12}$

   * k = 3  --> $ x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{\pi}{12}+ \dfrac{18\pi}{12} = \dfrac{19\pi}{12} $
Maintenant, je ne peux aller plus loin : avec k = 4, je dépasse $\dfrac{24\pi}{24}$
En effet :   
* k = 4  --> $ x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{4\pi}{2} = \dfrac{\pi}{12}+2\pi = \dfrac{\pi}{12}+ \dfrac{24\pi}{12} = \dfrac{25\pi}{12} $

  $\dfrac{25\pi}{12} \not\in [0\,,\,2\pi]$

2. $x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{2}$

#14 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 22-06-2020 21:07:23

et quand tu écris : $\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}}{4}=\dfrac{2\pi}{3}\times \dfrac 1 4=\dfrac{\pi}{6}$ , est-ce que tu regardes le cercle pour trouver $\dfrac{\pi}{6}$ ?

#15 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 22-06-2020 21:04:17

Tu as raison, avant de modifier ,j'ai mis $x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{2}$  et tu sais pourquoi ?
c'est parce que j'ai fait un copier - coller de ton exemple pour ne pas avoir à ré-écrire en latex, donc c'est vraiment du hasard si j'avais bon

#16 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 22-06-2020 16:58:49

$\sin(4x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)<=> \begin{cases}4x&=\dfrac{\pi}{3}+\quad k\times2\pi\\4x&=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k\times2
\pi\end{cases}<=> \begin{cases}4x&=\dfrac{\pi}{3}+k\times2\pi\\4x&=\dfrac{2\pi}{3}+k\times 2\pi\end{cases}  \begin{cases}x&=\dfrac{\pi}{12}+k\times\dfrac{\pi}{2}\\x&=\dfrac{11\pi}{12}+k\times\dfrac{
\pi}{2}\end{cases}$

#18 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 22-06-2020 13:00:45

Bonjour Yoshi, pardon de ne pas avoir répondu plus tôt mais j'ai eu un problème avec l'ordi : il a été trop sollicité pendant le confinement et depuis la semaine dernière, l' écran est devenu tout blanc avec des lignes grises , après avoir ré-installer le système d'exploitation , cela semble redevenu normal malgré la présence de plusieurs lignes blanches dans le bas de l'écran. Maintenant je peux écrire l'ensemble des solutions $S=\left \{-\dfrac{11\pi}{24}, - \dfrac{23\pi}{24}, \dfrac{11\pi}{24},\dfrac{13\pi}{24},\dfrac{23\pi}{24}, ,\right \}$

#19 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 16-06-2020 12:44:18

$x=- \dfrac{\pi}{24} + k\dfrac{\pi}{2}$
* k = 1 --> $x=- \dfrac{\pi}{24} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{11\pi}{13}$

* k = 2 --> $ x = -\dfrac{\pi}{24} + \pi = \dfrac{23\pi}{24}$

* k = -1 --> $x=-\dfrac{\pi}{24} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{13\pi}{24}$

* k = -2 -->$\dfrac{\pi}{24} - \dfrac{24\pi}{24} = -\dfrac{25\pi}{24}$

$\dfrac{11\pi}{13} ; \dfrac{23\pi}{24} \in [-\pi\,,\,\pi]$

$-\dfrac{13\pi}{24} \in [-\pi\,,\,\pi]$

mais $-\dfrac{25\pi}{24} \not\in [-\pi\,,\,\pi]$

#20 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 16-06-2020 12:02:06

je suis retourné au lycée de puis le 2, et nos conseils de classe sont cette semaine

#21 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 16-06-2020 08:53:18

Bonjour Yoshi,
$\cos(4x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$

Pour $x \in \, [-\pi\,;\,\pi]$

$\cos(4x) = \dfrac{\pi}{6} <=> \begin{cases}4x&=\dfrac{\pi}{6}+ k \times2\pi\\4x&=-\dfrac{\pi}{6}+k \times2\pi\end{cases} <=> \begin{cases}x&=\dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2}\\x&=-\dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2}\end{cases}$

1. $x=\dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2}$
   * k = 0  --> $x=\dfrac{\pi}{24}$
   * k = 1  -->$ x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{24} + \dfrac{12\pi}{24} = \dfrac{13\pi}{24}$
cette valeur de x  correspond  à l'intervalle demandé
   * k = 2  --> $x=\dfrac{\pi}{24} + \dfrac{2\pi}{2} = \dfrac{\pi}{24} + \pi = \dfrac{25\pi}{24} > \pi $
on ne peut pas aller plus loin : avec  k = 2, on dépasse $\pi$

   * k = -1  --> $x=\dfrac{\pi}{24} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{11\pi}{24}$
     $-\dfrac{11\pi}{24}\in [-\pi\,;\,\pi]$
   * k = -2  -->  $x=\dfrac{\pi}{24}  - \pi = - \dfrac{23\pi}{24}$
     $-\dfrac{23}{24}\in [-\pi\,,\,\pi]$
on ne peut pas aller plus loin : avec k=3, on est avant $-\pi$

#22 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 14-06-2020 09:56:03

Bonjour Yoshi,
29 = 6 * 4 + 5   --> 29k = 6 * 4k+ 5k
le k correspond à quoi ?

#23 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 10-06-2020 21:05:12

j'ai fait le calcul avec $\dfrac{25\pi}{6}$ et en lisant sur le cercle, cela fait 2 x tour du cercle + $\dfrac{\pi}{6}$

#24 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 10-06-2020 20:57:18

Comment trouves-tu le 5 dans  25k = 6 * 4k+ 5k

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