Bonjour,
Une solution à la portée d'un lycéen en choisissant un repère orthonormé d'origine $P$ :
La transformation $T:\,M(x,y)\rightarrow M'(x',y')$ est définie par $x'=-x$ et $xx'+yy'=0$
Soit \begin{cases}x'=-x\\y'=\dfrac{x^2}{y}\end{cases}
Vu que $T$ est une involution, la droite $(AB)$ d'équation $ax+by+c=0$ est transformée en la courbe d'équation $-ax+b\dfrac{x^2}{y}+c=0$
Soit $$y=\dfrac{bx^2}{ax-c}$$
qui est bien l'équation d'une hyperbole si $ac\not=0$. Cas $a=0$ (parabole) ou $c=0$ (droite) à examiner.
On peut l'écrire $y=\dfrac{b}{a}x+\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{bc^2}{a^2(ax-c)}$ qui donne immédiatement l'équation de ses deux asymptotes.
L'important est leurs constructions géométriques (voir figure).
Une hyperbole est parfaitement définie par ses asymptotes et un point (ici $P$).
On sait (voir le fil
Rectangle et droites) construire ses éventuelles intersections avec une droite. On laisse donc faire GeoGebra :
[Edit]
P.S.1 Au cas où mes messages en indisposeraient certains, je rappelle mon introduction :
N'ayant aucune imagination, je pioche sur le net des problèmes qui me semblent intéressants...
et je précise : ce problème et ses solutions proviennent d'un site voisin bien connu d'un certain
Jelobreuil.
Je n'ai rien inventé mais je suis résolument partisan d'une transmission transversale des savoirs.
P.S.2 Suite à ce sujet, j'ai commandé le 26 janvier le bouquin de Julius Petersen "Méthodes et théories pour les problèmes de constructions géométriques 1880" aux Éditions Gabay.
Commande enregistrée et encaissée le jour même. Aujourd'hui, je n'ai toujours rien reçu mais après contact téléphonique, j'ai bon espoir.
