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Bibm@th
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Trinôme du second degré - Formulaire Bibm@th

Forme canonique
$$ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right].$$
Discriminant et racines
  Posons $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant de ax2+bx+c.
  • Si $\Delta>0$, on pose u=x+b/2a, et $\delta=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$. Alors : $$ax^2+bx+c=a\left(u^2-\delta^2\right)=a(u-\delta)(u+\delta).$$ L'équation ax2+bx+c=0 est donc équivalente à $u=\delta$ ou $u=-\delta$. Elle admet donc deux racines simples, qui sont : $$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\textrm{ et }x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.$$
  • Si $\Delta=0$, il y a une racine réelle double : $$x_0=\frac{-b}{2a}.$$
  • Si $\Delta<0$, il n'y a pas de racines réelles.
Tableau de signes
  Dans le cas où il y a deux racines réelles x1 et x2, nous avons le tableau de signes suivant :
Dans les autres cas, ax2+bx+c est toujours du signe de a, avec éventuellement annulation à la racine double.
Cas des nombres complexes
  Dans le cas où $\Delta<0$, on a des racines complexes conjuguées :
Lien entre les racines et les coefficients
  Si le trinôme $ax^2+bx+c$ admet pour racines $x_1$ et $x_2$, si $S=x_1+x_2$ est la somme des deux racines, et si $P=x_1x_2$ est le produit de ces deux racines, alors $$ax^2+bx+c=a(x^2-SX+P).$$