Formulaire - Formules de Taylor
Formule de Taylor-Lagrange
Soit $f$ une fonction définie et $n$ fois dérivable sur un segment $[a,b]$, qui est aussi $(n+1)$ fois dérivable sur l'intervalle ouvert $]a,b[$.
Alors il existe un réel $c$
de $]a,b[$ tel que :
$$f(b)=f(a)+\frac{b-a}{1!}f'(a)+\dots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)+\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c).$$
Formule de Taylor-Young
Soit $f$ une fonction définie et $n$ fois dérivable sur un voisinage $V=]a-h,a+h[$ d'un point $a$ telle que $f^{(n+1)}(a)$ existe.
Alors, pour tout $x$ tel que $|x|<h$, on a
$$f(a+x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}x +\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}x^{n+1}+x^{n+1}\varepsilon(x),$$
où $\varepsilon(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $a$.
Il est important de remarquer la différence essentielle entre ces deux formules de
Taylor : la première est une formule globale, qu'on utilise lorsque l'on souhaite réaliser
des majorations sur tout un intervalle par exemple. La seconde est une formule locale, qui sert essentiellement
à l'obtention de développements limités.
Formule de Taylor avec reste intégral
Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal C^{n+1}$ sur un segment [a,b]. On a :
$$f(b)=f(a)+\frac{b-a}{1!}f'(a)+\dots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)+\int_a^b \frac{(b-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$
La formule de Taylor avec reste intégral est une généralisation du théorème fondamental
du calcul intégral, et s'obtient par récurrence en effectuant des intégrations par parties.